2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$、$\alpha\beta$ の値を求めよ。また、$\alpha + \beta$、$\alpha\beta$ を解にもつ2次方程式のうち、$x^2$ の係数が1であるものを答えよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$、$\alpha\beta$ の値を求めよ。また、$\alpha + \beta$、$\alpha\beta$ を解にもつ2次方程式のうち、$x^2$ の係数が1であるものを答えよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を用いて $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は次のようになる。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ において、$a=1$, $b=-2$, $c=3$ である。したがって、

$\alpha + \beta = - \frac{-2}{1} = 2$

$\alpha\beta = \frac{3}{1} = 3$

次に、$\alpha + \beta = 2$ と $\alpha\beta = 3$ を解にもつ、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

2つの解を $\gamma$、$\delta$ とすると、2次方程式は $(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ と表せる。

$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を解に持つ2次方程式は、

$(x - (\alpha + \beta))(x - \alpha\beta) = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha\beta = 3$

求める2次方程式は $x^2 - 5x + 6 = 0$