二項定理を用いて、以下の2つの式の値を求める問題です。 (1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ (2) $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の2つの式の値を求める問題です。

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

(2) $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ を用います。

$a=1$、 $b=1$ とすると、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k$

つまり、$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k = 2^n$ となります。

今回の問題では $n=10$ なので、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = 2^{10}$ となります。

(2) 二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ を用います。

$a=1$、 $b=1$ とすると、

$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k = 2^n$

今回の問題では、$n=9$ なので、$\sum_{k=0}^{9} {}_9 C_k = 2^{9}$

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k = \sum_{k=0}^{9} {}_{9}C_k - {}_9C_0 - {}_9C_9$

ここで、${}_9C_0 = 1$ かつ ${}_9C_9 = 1$ なので、

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k = 2^9 - 1 - 1 = 2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = 2^{10} = 1024$

(2) $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k = 510$