問題は二項定理を用いて、以下の2つの値を求める問題です。 (1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ (2) $\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k$

1. 問題の内容

問題は二項定理を用いて、以下の2つの値を求める問題です。

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

(2) $\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理において、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$ が成り立ちます。

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $n = 10$ を代入すると、

$(1+1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k 1^{10-k} 1^k = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

したがって、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = 2^{10}$ となります。

(2) 二項定理において、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$ が成り立ちます。

ここで、$a = 1$, $b = 1$, $n = 9$ を代入すると、

$(1+1)^9 = \sum_{k=0}^9 {}_9C_k 1^{9-k} 1^k = \sum_{k=0}^9 {}_9C_k$

したがって、$\sum_{k=0}^9 {}_9C_k = 2^9$ となります。

求めたい値は $\sum_{k=1}^8 {}_9C_k$ なので、$\sum_{k=0}^9 {}_9C_k$ から $k=0$ と $k=9$ の項を引きます。

つまり、

$\sum_{k=1}^8 {}_9C_k = \sum_{k=0}^9 {}_9C_k - {}_9C_0 - {}_9C_9 = 2^9 - 1 - 1 = 2^9 - 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = 2^{10} = 1024$

(2) $\sum_{k=1}^8 {}_9C_k = 2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$