座標平面上において、曲線 $y = \frac{2}{x+1}$ に関して、 - 直線 $y=x$ に関して対称な曲線を $C_1$ とする。 - 直線 $y=-1$ に関して対称な曲線を $C_2$ とする。 曲線 $C_2$ の漸近線と曲線 $C_1$ の交点の座標をすべて求める。

1. 問題の内容

座標平面上において、曲線 $y = \frac{2}{x+1}$ に関して、

- 直線 $y=x$ に関して対称な曲線を $C_1$ とする。

- 直線 $y=-1$ に関して対称な曲線を $C_2$ とする。

曲線 $C_2$ の漸近線と曲線 $C_1$ の交点の座標をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ を求める。$y = \frac{2}{x+1}$ を $y=x$ に関して対称移動すると、$x$ と $y$ を入れ替える。

したがって、$C_1$ の方程式は、$x = \frac{2}{y+1}$ となる。これを $y$ について解くと、

$x(y+1) = 2$

$xy + x = 2$

$xy = 2 - x$

$y = \frac{2-x}{x} = \frac{2}{x} - 1$

次に、$C_2$ を求める。$y = \frac{2}{x+1}$ を $y=-1$ に関して対称移動する。

$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、$y+1 = \frac{2}{x+1}$ となる。

$y=-1$ に関して対称なので、$y+1$ を $-(y+1)$ に置き換える。

$-(y+1) = \frac{2}{x+1}$

$y+1 = -\frac{2}{x+1}$

$y = -\frac{2}{x+1} - 1$

したがって、$C_2$ の方程式は $y = -\frac{2}{x+1} - 1$ である。

$C_2$ の漸近線は $x = -1$ と $y = -1$ である。

ここで、$x = -1$ は $C_1$ の漸近線でもあるため、$C_1$ との交点は存在しない。

よって、$y=-1$ と $C_1$ の交点を求める。

$C_1$ の方程式は $y = \frac{2}{x} - 1$ であるので、

$-1 = \frac{2}{x} - 1$

$0 = \frac{2}{x}$

この方程式を満たす $x$ は存在しない。

したがって、漸近線と $C_1$ の交点は存在しない。

計算間違いがあったかもしれないので、$y = \frac{2-x}{x}$ に対して $y=-1$ を代入してみる。

$-1 = \frac{2-x}{x}$

$-x = 2 - x$

$0 = 2$

これも矛盾。

問題文より、$C_2$ の漸近線は $x=-1$ と $y=-1$ である。$C_1$ の方程式は $y = \frac{2}{x} - 1$ であり、$C_1$ の漸近線は $x=0$ と $y=-1$ である。 $y=-1$ が共通の漸近線なので、$C_1$の漸近線$y=-1$と$C_2$の漸近線$x=-1$の交点を考える必要がありそう。交点は $(-1, -1)$ である。

$C_1$は$x=0$で定義されないので、点$(-1,-1)$は$C_1$上には存在しない。

$C_1$の式は $y = \frac{2-x}{x} = \frac{2}{x} - 1$ なので、$y = -1$のとき $\frac{2}{x}=0$。この式を満たす$x$は存在しない。

$C_2$の式は $y = -\frac{2}{x+1} - 1$ であり、$C_2$ の漸近線は $x = -1$ と $y = -1$ である。$x=-1$を代入すると式が定義されなくなるので、$x=-1$上で$C_2$は定義されない。

$y=-1$は$C_1$の漸近線であるから、$C_2$の漸近線$x=-1$との交点は$(-1, -1)$となる。

3. 最終的な答え

交点は存在しない。