この問題は、自然数 $n$ に関する以下の3つの等式または不等式を数学的帰納法などを用いて証明する問題です。 (1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ (2) $n! > 2^{n-1}$ ($n \geq 3$) (3) $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \leq \frac{2n-1}{n}$

1. 問題の内容

この問題は、自然数 $n$ に関する以下の3つの等式または不等式を数学的帰納法などを用いて証明する問題です。

(1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

(2) $n! > 2^{n-1}$ ($n \geq 3$)

(3) $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \leq \frac{2n-1}{n}$

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、左辺は $1^2 = 1$, 右辺は $\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1$。よって、$n=1$ のとき成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2$

$= \frac{1}{6}(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]$

$= \frac{1}{6}(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)$

$= \frac{1}{6}(k+1)(2k^2 + 7k + 6)$

$= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$

$= \frac{1}{6}(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i)(ii)(iii)より、すべての自然数 $n$ について等式が成り立つ。

(2) 数学的帰納法で証明します。

(i) $n=3$ のとき、左辺は $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, 右辺は $2^{3-1} = 2^2 = 4$。よって、$3! > 2^{3-1}$ となり、$n=3$ のとき成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k \geq 3$) のとき、$k! > 2^{k-1}$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$n! > 2^{n-1}$ が成り立つことを示す。

$(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot 2^{k-1}$ (仮定より)

$k \geq 3$ より、$k+1 \geq 4 > 2$ なので、

$(k+1)! > 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k = 2^{(k+1)-1}$

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i)(ii)(iii)より、$n \geq 3$ を満たす全ての自然数 $n$ について、$n! > 2^{n-1}$ が成り立つ。

(3) 数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、左辺は $1$, 右辺は $\frac{2 \cdot 1 - 1}{1} = 1$。よって、$n=1$ のとき、$1 \leq 1$ となり成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき、$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} \leq \frac{2k-1}{k}$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{2(k+1)-1}{k+1}$ を示す。

$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{2k-1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$ (仮定より)

$= \frac{(2k-1)(k+1)^2 + k}{k(k+1)^2}$

$= \frac{(2k-1)(k^2+2k+1) + k}{k(k+1)^2}$

$= \frac{2k^3 + 4k^2 + 2k - k^2 - 2k - 1 + k}{k(k+1)^2}$

$= \frac{2k^3 + 3k^2 + k - 1}{k(k+1)^2}$

ここで、$\frac{2(k+1)-1}{k+1} = \frac{2k+1}{k+1}$ と比較するため、

$\frac{2k^3 + 3k^2 + k - 1}{k(k+1)^2} - \frac{2k+1}{k+1} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k - 1 - (2k+1)k(k+1)}{k(k+1)^2}$

$= \frac{2k^3 + 3k^2 + k - 1 - (2k^2+k)(k+1)}{k(k+1)^2}$

$= \frac{2k^3 + 3k^2 + k - 1 - (2k^3 + 3k^2 + k)}{k(k+1)^2}$

$= \frac{-1}{k(k+1)^2} < 0$

したがって、$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{2k+1}{k+1} = \frac{2(k+1)-1}{k+1}$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i)(ii)(iii)より、すべての自然数 $n$ について不等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

(2) $n! > 2^{n-1}$ ($n \geq 3$)

(3) $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \leq \frac{2n-1}{n}$