2次方程式 $x^2 - 3x - 7 = 0$ を解いた解が $x = \frac{3 \pm \sqrt{p}}{2}$ の形式で与えられているとき、$p$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - 7 = 0$ を解いた解が $x = \frac{3 \pm \sqrt{p}}{2}$ の形式で与えられているとき、$p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求められます。

与えられた2次方程式 $x^2 - 3x - 7 = 0$ において、$a = 1$, $b = -3$, $c = -7$ です。

解の公式にこれらの値を代入すると、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 28}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$

問題文より、$x = \frac{3 \pm \sqrt{p}}{2}$ なので、$\sqrt{p} = \sqrt{37}$ となります。

したがって、$p = 37$ です。

3. 最終的な答え

37