$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきましょう。

**

1. 問題の内容**

問題1：

$a$ は正の定数とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ $(0 \le x \le 5)$ の最大値が 10, 最小値が 1 であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

問題2：

$a$ は定数とする。関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 2$ $(0 \le x \le 2)$ について、次の問いに答えよ。

(1) この関数の最小値を以下の場合について、それぞれ求めよ。

(a) $a < 0$

(b) $0 \le a \le 2$

(c) $2 < a$

(2) この関数の最大値を以下の場合について、それぞれ求めよ。

(a) $a < 1$

(b) $a = 1$

(c) $1 < a$

**

2. 解き方の手順**

**問題1：**

1. 与えられた関数を平方完成する。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

2. 軸の位置を考慮して、最大値と最小値を求める。

軸は $x = 2$ で、区間 $0 \le x \le 5$ に含まれる。

$a > 0$ より、下に凸のグラフである。

したがって、

* 最小値は、軸 $x = 2$ でとる。$y(2) = -4a + b = 1$

* 最大値は、$x = 5$ でとる。$y(5) = a(5 - 2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = 10$

3. 連立方程式を解く。

$-4a + b = 1$

$5a + b = 10$

この2式から、$9a = 9$ より $a = 1$

$b = 1 + 4a = 1 + 4 = 5$

**問題2：**

関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 2 = (x - a)^2 + 2$

(1) 最小値

(a) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $x = 0$ のとき最小値をとる。

$y(0) = (0 - a)^2 + 2 = a^2 + 2$

(b) $0 \le a \le 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $x = a$ のとき最小値をとる。

$y(a) = (a - a)^2 + 2 = 2$

(c) $2 < a$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $x = 2$ のとき最小値をとる。

$y(2) = (2 - a)^2 + 2 = a^2 - 4a + 6$

(2) 最大値

(a) $a < 1$ のとき、$x = 2$ で最大値をとる。

$y(2) = (2 - a)^2 + 2 = a^2 - 4a + 6$

(b) $a = 1$ のとき、$x = 0$と$x = 2$で同じ値を取り、最大値となる。

$y(0) = (0 - 1)^2 + 2 = 3$

$y(2) = (2 - 1)^2 + 2 = 3$

(c) $1 < a$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y(0) = (0 - a)^2 + 2 = a^2 + 2$

**

3. 最終的な答え**

**問題1：**

$a = 1$, $b = 5$

**問題2：**

(1) 最小値

(a) $a < 0$ のとき、最小値は $a^2 + 2$

(b) $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $2$

(c) $2 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 4a + 6$

(2) 最大値

(a) $a < 1$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 6$

(b) $a = 1$ のとき、最大値は $3$

(c) $1 < a$ のとき、最大値は $a^2 + 2$