二重根号を外して、以下の式を簡単にします。 (1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ (2) $\sqrt{9-6\sqrt{2}}$ (3) $\sqrt{10+\sqrt{84}}$ (4) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

二重根号を外して、以下の式を簡単にします。

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

(2) $\sqrt{9-6\sqrt{2}}$

(3) $\sqrt{10+\sqrt{84}}$

(4) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ の場合

$5+2\sqrt{6}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の形に変形できるか考えます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$なので、$a+b=5$ かつ $ab=6$ となる $a, b$ を探します。

$a=2, b=3$ または $a=3, b=2$ が条件を満たします。

よって、

$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ となります。

(2) $\sqrt{9-6\sqrt{2}}$ の場合

$9-6\sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{18}$ なので、$a+b=9$ かつ $ab=18$ となる $a, b$ を探します。

$a=6, b=3$ または $a=3, b=6$ が条件を満たします。

このとき、$9-6\sqrt{2} = (\sqrt{6} - \sqrt{3})^2$ となるので、

$\sqrt{9-6\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{3}| = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ となります。

(3) $\sqrt{10+\sqrt{84}}$ の場合

$\sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$なので、$\sqrt{10+\sqrt{84}} = \sqrt{10+2\sqrt{21}}$となります。

$10+2\sqrt{21}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の形に変形できるか考えます。

$a+b=10$ かつ $ab=21$ となる $a, b$ を探します。

$a=3, b=7$ または $a=7, b=3$ が条件を満たします。

よって、

$\sqrt{10+\sqrt{84}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ となります。

(4) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$ の場合

$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$6-2\sqrt{5}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形できるか考えます。

$a+b=6$ かつ $ab=5$ となる $a, b$ を探します。

$a=5, b=1$ または $a=1, b=5$ が条件を満たします。

よって、$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$ となります。

したがって、$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$