多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ が与えられています。ただし、$k$ は実数の定数です。 (1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求めます。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求めます。 (3) $k$ は(2)で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x)=0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k + 6$ が与えられています。ただし、$k$ は実数の定数です。

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求めます。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求めます。

(3) $k$ は(2)で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x)=0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割った商と余りを求めます。

$P(-2) = (-2)^3 - (k-2)(-2)^2 - (k-3)(-2) + 2k + 6 = -8 - 4(k-2) + 2(k-3) + 2k + 6 = -8 - 4k + 8 + 2k - 6 + 2k + 6 = 0$

$P(-2) = 0$ なので、$x+2$ は $P(x)$ の因数です。

$P(x) = (x+2)(x^2 + ax + b)$ とおいて展開すると、$x^3 + (a+2)x^2 + (2a+b)x + 2b$ となります。

係数を比較すると、

$a+2 = -(k-2) \implies a = -k + 2 - 2 = -k$

$2a + b = -(k-3) \implies -2k + b = -k+3 \implies b = k+3$

$2b = 2k+6 \implies b = k+3$

したがって、$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + k+3)$ となります。

商は $x^2 - kx + k+3$、余りは $0$ です。

(2) $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求めます。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + k+3) = 0$ より、$x=-2$ または $x^2 - kx + k+3 = 0$ です。

$x^2 - kx + k+3 = 0$ が $x=-2$ を解に持つとき、

$(-2)^2 - k(-2) + k+3 = 0 \implies 4 + 2k + k + 3 = 0 \implies 3k + 7 = 0 \implies k = -\frac{7}{3}$

このとき、$x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} = 0 \implies 3x^2 + 7x + 2 = 0 \implies (3x+1)(x+2) = 0$

したがって、$x = -2, -\frac{1}{3}$ となり、異なる実数解は $x = -2, -\frac{1}{3}$ の2個です。

$x^2 - kx + k+3 = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D = k^2 - 4(k+3) = 0$

$k^2 - 4k - 12 = 0 \implies (k-6)(k+2) = 0 \implies k = 6, -2$

$k=6$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 0 \implies (x-3)^2 = 0 \implies x = 3$ (重解)

このとき、$x=-2$ と $x=3$ なので、異なる実数解は2個です。

$k=-2$ のとき、$x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1$ (重解)

このとき、$x=-2$ と $x=-1$ なので、異なる実数解は2個です。

したがって、$k = -\frac{7}{3}, 6, -2$ です。

(3) $k$ は(2)で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x)=0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p, q, r$ とするとき、$p^2 + q^2 + r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + k+3) = 0$

$x=-2$ は解の1つなので、$p=-2$ とします。

$x^2 - kx + k+3 = 0$ の解を $q, r$ とすると、$q+r = k, qr = k+3$ です。

$p^2 + q^2 + r^2 = (-2)^2 + q^2 + r^2 = 4 + q^2 + r^2 = 7$

$q^2 + r^2 = 3$

$(q+r)^2 = q^2 + 2qr + r^2 \implies q^2 + r^2 = (q+r)^2 - 2qr$

$3 = k^2 - 2(k+3) \implies 3 = k^2 - 2k - 6 \implies k^2 - 2k - 9 = 0$

$k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$

$k = 1 \pm \sqrt{10}$ は $k = -\frac{7}{3}, 6, -2$ ではないので、条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) 商：$x^2 - kx + k+3$、余り：0

(2) $k = -\frac{7}{3}, 6, -2$

(3) $k = 1 \pm \sqrt{10}$