分母に根号を含む分数 $\frac{2}{5-3\sqrt{3}}$ を有理化する問題です。画像には、その途中経過が示されています。

1. 問題の内容

分母に根号を含む分数 $\frac{2}{5-3\sqrt{3}}$ を有理化する問題です。画像には、その途中経過が示されています。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役な複素数（ここでは $5 + 3\sqrt{3}$）を分母と分子にかけます。

まず、与えられた分数 $\frac{2}{5-3\sqrt{3}}$ の分母と分子に $5+3\sqrt{3}$ をかけます。

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\frac{2}{5-3\sqrt{3}} = \frac{2(5+3\sqrt{3})}{(5-3\sqrt{3})(5+3\sqrt{3})}

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分母を展開します。 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用します。

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(5-3\sqrt{3})(5+3\sqrt{3}) = 5^2 - (3\sqrt{3})^2 = 25 - 9(3) = 25 - 27 = -2

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したがって、

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\frac{2(5+3\sqrt{3})}{-2} = -(5+3\sqrt{3}) = -5 - 3\sqrt{3}

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画像に示されている手順に沿って計算すると以下のようになります。

- (ア) $\frac{2}{5-3\sqrt{3}}$ の分母と分子に、$5+3\sqrt{3}$ を掛けます。

- (イ) 分母を $(5-3\sqrt{3})(5+3\sqrt{3}) = 5^2 - (3\sqrt{3})^2 = 25 - 27 = -2$ と計算します。 画像では $10-9$ と計算されているため、間違っています。

- (ウ) 分子を $2(5+3\sqrt{3}) = 10 + 6\sqrt{3}$ と計算します。 分母と分子を-2で割ると $\frac{10 + 6\sqrt{3}}{-2} = -5 - 3\sqrt{3}$ となります。 画像では $6\sqrt{3}$ と計算されているため、間違っています。

3. 最終的な答え

$-5-3\sqrt{3}$