## 問題の回答

## 問題の回答

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3. じゃんけんの問題

**問題の内容**

A, B, C, Dの4人が1回だけじゃんけんをする。以下の確率を求めよ。

(6) Aだけが勝ち、残りの3人が負ける確率。

(7) 4人のうち2人が勝ち、2人が負ける確率。

(8) あいこになる確率。

**解き方の手順**

(6) Aだけが勝つ確率

Aが勝つためには、グー、チョキ、パーのいずれかを出す必要がある。

* Aがグーで勝つ場合、残りの3人はチョキを出す必要がある。確率は $(1/3) \times (1/3)^3 = 1/81$

* Aがチョキで勝つ場合、残りの3人はパーを出す必要がある。確率は $(1/3) \times (1/3)^3 = 1/81$

* Aがパーで勝つ場合、残りの3人はグーを出す必要がある。確率は $(1/3) \times (1/3)^3 = 1/81$

したがって、Aだけが勝つ確率は $1/81 + 1/81 + 1/81 = 3/81 = 1/27$

(7) 2人が勝ち、2人が負ける確率

2人が勝つ手の組み合わせは、グー、チョキ、パーの３通り。

４人から２人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$通り。

残りの２人は勝った手に対して負ける手を出す必要があり、それは１通りに決まる。

例えば、グーで２人が勝ち、チョキで２人が負ける場合。

４人全員が同じ手を出す場合を除くと、手の出し方は全部で $3^4 - 3 = 81 - 3 = 78$通り。

しかし、これは総数ではないため、別の考え方が必要。

まず、誰が勝つかを考える。4人から2人を選ぶ方法は $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

次に、何で勝つかを考える。勝つ手はグー、チョキ、パーの3通り。

2人が勝つためには、残りの2人はそれに対して負ける手を出す必要がある。これは1通り。

したがって、2人が勝ち2人が負ける確率は、

$\frac{_4C_2 \times 3}{3^4} = \frac{6 \times 3}{81} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}$

(8) あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手がすべて出る場合。

全員が同じ手を出す確率は $\frac{3}{3^4} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$

3種類の手がすべて出る場合、これは少し複雑。まず、4人の中で、2人が同じ手を出し、残りの2人が異なる手を出す場合。

手の出し方は3種類あるので、どの手を2人が出すかを3通りから選ぶ。そして残りの2人は、残りの2種類のいずれかの手を出す必要があり、これは2通り。

なので$_4C_2 * 3 * 2 = 36$

しかし、3種類がすべて出る場合は、上の条件に当てはまらない。

あいこにならない場合は、誰か一人が勝つ場合と、2人が勝つ場合のみ。

1人が勝つ場合は、$_4C_1 * 3 * (1/3)^3= 4/27$

2人が勝つ場合は $2/9$

よって、あいこになる確率は $1 - \frac{4}{27} - \frac{6}{27} = 1-\frac{10}{27} = \frac{17}{27}$

**最終的な答え**

(6) $\frac{1}{27}$

(7) $\frac{2}{9}$

(8) $\frac{17}{27}$

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4. 玉を取り出す問題

**問題の内容**

赤玉5個、白玉4個、黒玉3個の合計12個が入っている袋の中から、3個の玉を同時に取り出す。以下の確率を求めよ。

(9) 取り出した3個のうち、少なくとも1個は赤玉である確率。

(10) 取り出した3個のうち、2個は同じ色、残りの1個は違う色である確率。

**解き方の手順**

(9) 少なくとも1個は赤玉である確率

少なくとも1個は赤玉である確率は、1から3個とも赤玉でない確率を引くことで求められる。

3個とも赤玉でないのは、白玉4個と黒玉3個の合計7個から3個取り出す場合。

全体の場合の数は $_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

3個とも赤玉でない場合の数は $_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、少なくとも1個は赤玉である確率は $1 - \frac{35}{220} = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$

(10) 2個は同じ色、残りの1個は違う色である確率

2個が同じ色の場合を考える。

* 赤2個の場合：残りの1個は白か黒。 $_5C_2 \times (_4C_1 + _3C_1) = 10 \times (4 + 3) = 70$

* 白2個の場合：残りの1個は赤か黒。 $_4C_2 \times (_5C_1 + _3C_1) = 6 \times (5 + 3) = 48$

* 黒2個の場合：残りの1個は赤か白。 $_3C_2 \times (_5C_1 + _4C_1) = 3 \times (5 + 4) = 27$

したがって、2個が同じ色で残りの1個が違う色の場合は $70 + 48 + 27 = 145$通り。

全体の組み合わせは $_{12}C_3 = 220$通り。

確率は $\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$

**最終的な答え**

(9) $\frac{37}{44}$

(10) $\frac{29}{44}$