8人の生徒の小テストの点数が与えられています。点数は$5, 5, 6, 7, 8, 10, a, b$です。この小テストの平均が7、分散が3であるとき、$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

8人の生徒の小テストの点数が与えられています。点数は$5, 5, 6, 7, 8, 10, a, b$です。この小テストの平均が7、分散が3であるとき、$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平均の定義より、以下の式が成り立ちます。

$\frac{5+5+6+7+8+10+a+b}{8} = 7$

この式を整理すると、

$41 + a + b = 56$

$a + b = 15$ ...(1)

次に、分散の定義より、各データの2乗の平均から平均の2乗を引いたものが分散となります。つまり、

$\frac{5^2+5^2+6^2+7^2+8^2+10^2+a^2+b^2}{8} - 7^2 = 3$

$\frac{25+25+36+49+64+100+a^2+b^2}{8} - 49 = 3$

$\frac{299 + a^2 + b^2}{8} = 52$

$299 + a^2 + b^2 = 416$

$a^2 + b^2 = 117$ ...(2)

(1)より、$b = 15 - a$なので、これを(2)に代入します。

$a^2 + (15 - a)^2 = 117$

$a^2 + 225 - 30a + a^2 = 117$

$2a^2 - 30a + 108 = 0$

$a^2 - 15a + 54 = 0$

$(a - 6)(a - 9) = 0$

したがって、$a = 6$または$a = 9$です。

$a = 6$のとき、$b = 15 - 6 = 9$

$a = 9$のとき、$b = 15 - 9 = 6$

3. 最終的な答え

$a = 6, b = 9$または$a = 9, b = 6$