$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

与えられた式を次のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos 3x$

ここで、$\frac{\sin 2x}{x}$ の分母分子に2を掛けて、

$\frac{\sin 2x}{x} = \frac{2 \sin 2x}{2x}$ とします。

$t=2x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 2 \cdot 1 = 2$

また、$\lim_{x \to 0} \cos 3x = \cos (3 \cdot 0) = \cos 0 = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos 3x = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

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