極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\infty + \infty$ の形なので、そのままでは計算できません。そこで、有理化を行います。

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子を計算すると、

$(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x) = (4x^2 - 3x + 1) - (4x^2) = -3x + 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

次に、分子と分母を$x$で割ります。ここで、$\sqrt{x^2}=|x|=x$ ($x \to \infty$ なので$x>0$です。)を利用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-3x + 1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1}}{x} - \frac{2x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2}} - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3 + 0}{\sqrt{4 - 0 + 0} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

ここで、もう一度見直します。$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$の符号を確かめます。十分大きい$x$に対して、$4x^2 - 3x + 1 < 4x^2$なので、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} < 2x$となり、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x < 0$です。したがって、$x \to \infty$のとき、分母は0に近づき、負の値を取ります。

よって、$\frac{-3}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} \to \frac{-3}{0^-} \to +\infty$

3. 最終的な答え

$\infty$