与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 行列 $A$ が正則であるか判定し、正則であれば逆行列 $A^{-1}$ を求めます。 (2) 行列 $X$ についての行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 行列 $A$ が正則であるか判定し、正則であれば逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

(2) 行列 $X$ についての行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ が正則であるかを判定するには、行列式 $\det(A)$ を計算します。$\det(A) \neq 0$ であれば $A$ は正則です。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ のとき、$\det(A) = ad - bc$ であり、逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられます。

$\det(A) = (4)(2) - (6)(1) = 8 - 6 = 2 \neq 0$ なので、$A$ は正則です。

逆行列は、

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A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1/2 & 2 \end{pmatrix}

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(2) 行列方程式 $AX = B$ を解くには、$A$ が正則であることから、$X = A^{-1} B$ を計算します。

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X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1/2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) + (-3)(3) & (1)(1) + (-3)(5) \\ (-1/2)(2) + (2)(3) & (-1/2)(1) + (2)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 & 1 - 15 \\ -1 + 6 & -1/2 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -14 \\ 5 & 19/2 \end{pmatrix}

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3. 最終的な答え

(1) $A$ は正則であり、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1/2 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $X = \begin{pmatrix} -7 & -14 \\ 5 & 19/2 \end{pmatrix}$