サイコロを繰り返し振り、直前に出た目よりも小さい目が出たら、そこでサイコロを振るのをやめる。ちょうど $n$ 回目でこの作業が終了する確率を求めよ。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し振り、直前に出た目よりも小さい目が出たら、そこでサイコロを振るのをやめる。ちょうど $n$ 回目でこの作業が終了する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

$n$ 回目で終了するということは、$n-1$ 回目までは前の回よりも大きい目が出続け、$n$ 回目に前の回よりも小さい目が出たということである。

* $P(n)$ を $n$ 回目で終了する確率とする。

* 1回目の試行で出る目を $i$ ($1 \le i \le 6$) とする。

* 2回目以降は、直前の目より大きい目が出続ける必要がある。

* $n=1$ のとき、$P(1) = 0$ （サイコロを振るのをやめられないため）

* $n=2$ のとき、$P(2) = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} \frac{i-1}{6} = \frac{1}{36} \sum_{i=1}^{6} (i-1) = \frac{1}{36} (0+1+2+3+4+5) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

* $n \ge 3$ のとき、

- 1回目の目を $x_1$ とする。

- 2回目の目を $x_2$ とする。

- $n-1$回目の目を $x_{n-1}$ とする。

- $n$回目の目を $x_n$ とする。

このとき、$x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1}$ であり、$x_{n-1} > x_n$ である。

$x_1, x_2, \dots, x_{n-1}$ は相異なる数であることに注意する。

$n$ 回目で終了する確率 $P(n)$ は、全事象の場合の数 $6^n$ を用いて求めることができる。

$n=2$ のとき、

(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)

の15通り。したがって、$P(2) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

$n$ 回目で終了する確率を求める。

$n=1$ のとき、確率0。

$n>=2$ のとき、

$P(n) = \frac{1}{6^n} \sum_{x_1=1}^{6} \sum_{x_2=x_1+1}^{6} \cdots \sum_{x_{n-1}=x_{n-2}+1}^{6} (x_{n-1}-1)$

3. 最終的な答え

$P(2) = \frac{5}{12}$

$P(n) = \frac{1}{6^n} \sum_{x_1=1}^{6} \sum_{x_2=x_1+1}^{6} \cdots \sum_{x_{n-1}=x_{n-2}+1}^{6} (x_{n-1}-1)$

($n \ge 3$)

具体的な数値を求めることは難しいので、上記が答えとなります。

しかし、$n \ge 3$の場合、$P(n)$を具体的に計算するのは非常に困難である。$n=2$の場合は$P(2)=\frac{5}{12}$である。

最終解答：

$n=2$ のとき、$5/12$

$n \ge 3$ のとき、$\frac{1}{6^n} \sum_{x_1=1}^{6} \sum_{x_2=x_1+1}^{6} \cdots \sum_{x_{n-1}=x_{n-2}+1}^{6} (x_{n-1}-1)$