白色のマスクが $13-d$ 枚、黒色のマスクが $11-d$ 枚ある。この中から1人に4枚のマスクを配る時、以下の確率を求める。 (1) 4枚とも白色のマスクである確率 (2) 白色のマスク2枚と黒色のマスク2枚を受け取る確率

1. 問題の内容

白色のマスクが $13-d$ 枚、黒色のマスクが $11-d$ 枚ある。この中から1人に4枚のマスクを配る時、以下の確率を求める。

(1) 4枚とも白色のマスクである確率

(2) 白色のマスク2枚と黒色のマスク2枚を受け取る確率

2. 解き方の手順

全体のマスクの枚数は $(13-d) + (11-d) = 24 - 2d$ 枚である。

(1) 4枚とも白色のマスクである確率を求める。

全体の組み合わせの数は ${}_{24-2d}C_4$ 通りである。

4枚とも白色のマスクである組み合わせの数は ${}_{13-d}C_4$ 通りである。

したがって、4枚とも白色のマスクである確率は、

$\frac{{}_{13-d}C_4}{{}_{24-2d}C_4} = \frac{\frac{(13-d)(12-d)(11-d)(10-d)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{(13-d)(12-d)(11-d)(10-d)}{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}$

(2) 白色のマスク2枚と黒色のマスク2枚を受け取る確率を求める。

白色のマスク2枚を選ぶ組み合わせの数は ${}_{13-d}C_2$ 通りである。

黒色のマスク2枚を選ぶ組み合わせの数は ${}_{11-d}C_2$ 通りである。

したがって、白色のマスク2枚と黒色のマスク2枚を受け取る組み合わせの数は ${}_{13-d}C_2 \times {}_{11-d}C_2$ 通りである。

したがって、白色のマスク2枚と黒色のマスク2枚を受け取る確率は、

$\frac{{}_{13-d}C_2 \times {}_{11-d}C_2}{{}_{24-2d}C_4} = \frac{\frac{(13-d)(12-d)}{2 \cdot 1} \times \frac{(11-d)(10-d)}{2 \cdot 1}}{\frac{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{(13-d)(12-d)(11-d)(10-d) \cdot 6}{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}$

3. 最終的な答え

$\frac{(13-d)(12-d)(11-d)(10-d)}{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}$

$\frac{6(13-d)(12-d)(11-d)(10-d)}{(24-2d)(23-2d)(22-2d)(21-2d)}$