複素数平面上の点 $P(z)$ が、点 $-i$ を中心とする半径1の円から原点を除いた円周上を動くとき、 $w = \frac{1}{z}$ で表される点 $Q(w)$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $P(z)$ が、点 $-i$ を中心とする半径1の円から原点を除いた円周上を動くとき、 $w = \frac{1}{z}$ で表される点 $Q(w)$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

点 $P(z)$ は、中心が $-i$ 、半径が1の円周上にあるので、$|z + i| = 1$ を満たします。 ただし、原点を除いているので、$z \ne 0$ です。

$w = \frac{1}{z}$ なので、$z = \frac{1}{w}$ となります。これを $|z + i| = 1$ に代入すると、

$|\frac{1}{w} + i| = 1$

$|\frac{1 + iw}{w}| = 1$

$|1 + iw| = |w|$

$|i(w - i)| = |w|$

$|i| |w - i| = |w|$

$|w - i| = |w|$

これは、点 $w$ と点 $i$ との距離と、点 $w$ と原点との距離が等しいことを示しています。これは、$i$ と原点を結ぶ線分の垂直二等分線を表します。

$i$ は $(0, 1)$ なので、$i$ と原点を結ぶ線分は $y$ 軸の一部です。その中点は $(0, \frac{1}{2})$ であり、垂直二等分線は、$y = \frac{1}{2}$ の直線です。

ただし、$z \ne 0$ なので、$w = \frac{1}{z}$ から $w$ は定義され、$w$ は存在します。

$z = 0$ のとき、$w$ は存在しません。 $|z+i|=1$ の円周上で $z = 0$ となることはないので、$w$ は常に存在します。

$|z+i| = 1$ 上の点 $z$ は、$z = 0$ を除く円周上の全ての点を動くので、$w = \frac{1}{z}$ は $y = \frac{1}{2}$ 上の全ての点を動きます。

3. 最終的な答え

点 $Q(w)$ は、直線 $y = \frac{1}{2}$ を描く。