直線 $y = mx$ が放物線 $y = -x^2 - 1$ と異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = mx$ が放物線 $y = -x^2 - 1$ と異なる2点で交わるような $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

直線と放物線が異なる2点で交わる条件は、連立方程式を解いた時の判別式が正になることです。

まず、連立方程式を作ります。

$y = mx$ と $y = -x^2 - 1$ を連立して、$y$ を消去します。

$mx = -x^2 - 1$

移項して整理すると、

$x^2 + mx + 1 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が正であることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この場合、$a=1, b=m, c=1$ なので、

$D = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4$

$D > 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$m^2 - 4 > 0$

$(m - 2)(m + 2) > 0$

したがって、$m < -2$ または $m > 2$

3. 最終的な答え

$m < -2$ または $m > 2$