この問題は、関数に関する基礎的な問題を解くものです。具体的には、 (1) 水槽に水を入れる問題で、時間と水量の関係式を求める。 (2) 2直線の交点の座標を求める。 (3) 2直線の交点の座標を求める。 (4) 関数 $y = -x^2$ における $y$ の変域を求める。 (5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ における $y$ の変域を求める。

1. 問題の内容

この問題は、関数に関する基礎的な問題を解くものです。具体的には、

(1) 水槽に水を入れる問題で、時間と水量の関係式を求める。

(2) 2直線の交点の座標を求める。

(3) 2直線の交点の座標を求める。

(4) 関数 $y = -x^2$ における $y$ の変域を求める。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ における $y$ の変域を求める。

2. 解き方の手順

(1)

初期状態の水量が2Lであり、7分間に3Lずつ水を入れるので、1分あたり$\frac{3}{7}$Lの水を入れることになります。したがって、$x$分後の水量は $y = \frac{3}{7}x + 2$ と表されます。

(2)

2直線の交点の座標を求めるには、連立方程式を解きます。

$y = -5x + 3$

$y = 2x - 4$

$y$ を消去すると、$-5x + 3 = 2x - 4$ より $7x = 7$、したがって $x = 1$ です。

$x = 1$ を $y = 2x - 4$ に代入すると $y = 2(1) - 4 = -2$ です。

よって、交点の座標は $(1, -2)$ です。

(3)

2直線の交点の座標を求めるには、連立方程式を解きます。

$y = 3x - 10$

$y = -\frac{1}{3}x + 10$

$y$ を消去すると、$3x - 10 = -\frac{1}{3}x + 10$ より $\frac{10}{3}x = 20$、したがって $x = 6$ です。

$x = 6$ を $y = 3x - 10$ に代入すると $y = 3(6) - 10 = 8$ です。

よって、交点の座標は $(6, 8)$ です。

(4)

関数 $y = -x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域を求めます。

$y = -x^2$ は上に凸な放物線であり、頂点は $(0, 0)$ です。

$x = -2$ のとき $y = -(-2)^2 = -4$

$x = 1$ のとき $y = -(1)^2 = -1$

したがって、$y$ の最大値は $0$、$y$ の最小値は $-4$ です。

よって、$y$ の変域は $-4 \le y \le 0$ です。

(5)

関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のとき、$y$ の変域を求めます。

$y = \frac{2}{3}x^2$ は下に凸な放物線であり、頂点は $(0, 0)$ です。

$x = -3$ のとき $y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3}(9) = 6$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{2}{3}(\sqrt{3})^2 = \frac{2}{3}(3) = 2$

したがって、$y$ の最大値は $6$、$y$ の最小値は $0$ です。

よって、$y$ の変域は $0 \le y \le 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{7}x + 2$

(2) $(1, -2)$

(3) $(6, 8)$

(4) $-4 \le y \le 0$

(5) $0 \le y \le 6$