(1) 初期状態で2Lの水が入っている水槽に、7分間で3Lの割合で水を入れる。水を入れてからx分後の水槽内の水の量をyLとする時、水槽がいっぱいになるまでのx,yの関係式を求める。 (2) 2直線 $y = -5x + 3$ と $y = 2x - 4$ の交点の座標を求める。 (3) 2直線 $y = 3x - 10$ と $y = -\frac{1}{3}x + 10$ の交点の座標を求める。 (4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域を求める。 (5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のとき、$y$ の変域を求める。

1. 問題の内容

(1) 初期状態で2Lの水が入っている水槽に、7分間で3Lの割合で水を入れる。水を入れてからx分後の水槽内の水の量をyLとする時、水槽がいっぱいになるまでのx,yの関係式を求める。

(2) 2直線 $y = -5x + 3$ と $y = 2x - 4$ の交点の座標を求める。

(3) 2直線 $y = 3x - 10$ と $y = -\frac{1}{3}x + 10$ の交点の座標を求める。

(4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域を求める。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のとき、$y$ の変域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7分間に3Lの割合なので、1分間には $\frac{3}{7}$Lずつ水を入れることになる。初期状態が2Lなので、x分後の水の量yLは、

$y = \frac{3}{7}x + 2$

で表される。

(2) 2直線の交点の座標を求めるためには、連立方程式を解けばよい。

$y = -5x + 3$

$y = 2x - 4$

上記より、$-5x + 3 = 2x - 4$ 。

$7x = 7$

$x = 1$

$y = 2(1) - 4 = -2$

よって、交点の座標は $(1, -2)$ である。

(3) 2直線の交点の座標を求めるためには、連立方程式を解けばよい。

$y = 3x - 10$

$y = -\frac{1}{3}x + 10$

上記より、$3x - 10 = -\frac{1}{3}x + 10$

$\frac{10}{3}x = 20$

$x = 6$

$y = 3(6) - 10 = 8$

よって、交点の座標は $(6, 8)$ である。

(4) 関数 $y = -x^2$ は上に凸の放物線である。$x = 0$ のとき $y = 0$ となる。

$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ であるので、

$x = -2$ のとき $y = -(-2)^2 = -4$

$x = 1$ のとき $y = -(1)^2 = -1$

したがって、$y$ の最大値は $0$ で、最小値は $-4$ である。

$y$ の変域は $-4 \le y \le 0$ である。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ は下に凸の放物線である。$x = 0$ のとき $y = 0$ となる。

$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ であるので、

$x = -3$ のとき $y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3}(9) = 6$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{2}{3}(\sqrt{3})^2 = \frac{2}{3}(3) = 2$

したがって、$y$ の最小値は $0$ で、最大値は $6$ である。

$y$ の変域は $0 \le y \le 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{7}x + 2$

(2) $(1, -2)$

(3) $(6, 8)$

(4) $-4 \le y \le 0$

(5) $0 \le y \le 6$