与えられた分数式を部分分数に分解する問題です。 (1) $\frac{5}{(2x-1)(x+2)}$ (2) $\frac{4(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を部分分数に分解する問題です。

(1) $\frac{5}{(2x-1)(x+2)}$

(2) $\frac{4(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{5}{(2x-1)(x+2)}$ の場合：

まず、与えられた分数式を次のように部分分数に分解できると仮定します。

$\frac{5}{(2x-1)(x+2)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x+2}$

両辺に $(2x-1)(x+2)$ を掛けると、

$5 = A(x+2) + B(2x-1)$

この式が任意の $x$ に対して成り立つように $A$ と $B$ を決定します。

$x = -2$ のとき：

$5 = A(-2+2) + B(2(-2)-1) = -5B$

$B = -1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき：

$5 = A(\frac{1}{2}+2) + B(2(\frac{1}{2})-1) = \frac{5}{2}A$

$A = 2$

したがって、

$\frac{5}{(2x-1)(x+2)} = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{4(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$ の場合：

まず、与えられた分数式を次のように部分分数に分解できると仮定します。

$\frac{4(x+2)}{(x+1)^2(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+3}$

両辺に $(x+1)^2(x+3)$ を掛けると、

$4(x+2) = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$

この式が任意の $x$ に対して成り立つように $A$, $B$, $C$ を決定します。

$x = -1$ のとき：

$4(-1+2) = A(-1+1)(-1+3) + B(-1+3) + C(-1+1)^2$

$4 = 2B$

$B = 2$

$x = -3$ のとき：

$4(-3+2) = A(-3+1)(-3+3) + B(-3+3) + C(-3+1)^2$

$-4 = 4C$

$C = -1$

$x = 0$ のとき：

$4(0+2) = A(0+1)(0+3) + B(0+3) + C(0+1)^2$

$8 = 3A + 3B + C = 3A + 3(2) - 1$

$8 = 3A + 6 - 1$

$3A = 3$

$A = 1$

したがって、

$\frac{4(x+2)}{(x+1)^2(x+3)} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+3}$