$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, p_1 + 2p_2 - p_3)$ $b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$ このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1, 2p_1, p_2, p_3, p_1 + 2p_2 - p_3)$

$b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

2. 解き方の手順

$A$ の列ベクトルを $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ とすると、 $A = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ である。

$a_1 = p_1, a_2 = 2p_1, a_3 = p_2, a_4 = p_3, a_5 = p_1 + 2p_2 - p_3$

$Ax = b$ を満たす $x = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^T$ を見つける。

$x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 + x_5 a_5 = b$

$x_1 p_1 + x_2 (2p_1) + x_3 p_2 + x_4 p_3 + x_5 (p_1 + 2p_2 - p_3) = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

$(x_1 + 2x_2 + x_5) p_1 + (x_3 + 2x_5) p_2 + (x_4 - x_5) p_3 = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は一次独立なので、以下の連立方程式を得る。

$x_1 + 2x_2 + x_5 = 1$

$x_3 + 2x_5 = 3$

$x_4 - x_5 = 3$

$x_5 = t$ とおく。

$x_1 + 2x_2 = 1 - t$

$x_3 = 3 - 2t$

$x_4 = 3 + t$

$x_2 = s$ とおく。

$x_1 = 1 - t - 2s$

したがって、解は

$x_1 = 1 - t - 2s$

$x_2 = s$

$x_3 = 3 - 2t$

$x_4 = 3 + t$

$x_5 = t$

よって、解は

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

解のパラメータ表示は $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$