$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -p_1+2p_2), b=p_1+p_2$のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。 ここでAは問題文から$A = \begin{pmatrix} p_1 & -p_1 \\ -2p_1 & p_1+2p_2 \end{pmatrix}$であると思われる。また、連立一次方程式は$Ax = b$ であり、$b = p_1 + p_2$ である。

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -p_1+2p_2), b=p_1+p_2$のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

ここでAは問題文から$A = \begin{pmatrix} p_1 & -p_1 \\ -2p_1 & p_1+2p_2 \end{pmatrix}$であると思われる。また、連立一次方程式は$Ax = b$ であり、$b = p_1 + p_2$ である。

2. 解き方の手順

まず、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ とおくと、$Ax = b$ は次のように書ける。

$\begin{pmatrix} p_1 & -p_1 \\ -2p_1 & p_1+2p_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = p_1 + p_2$

これは、

$x_1 p_1 - x_2 p_1 = p_1 + p_2$

$-2x_1 p_1 + x_2(p_1 + 2p_2) = p_1 + p_2$

という連立方程式になる。 一つ目の式から $p_1 (x_1 - x_2) = p_1 + p_2$ が得られるので、 $x_1 - x_2 = 1 + p_2/p_1$。

したがって$p_2 = p_1(x_1 - x_2 - 1)$。

二つ目の式に代入して整理する。

$-2x_1 p_1 + x_2 (p_1 + 2p_2) = p_1 + p_2$

$-2x_1 p_1 + x_2 p_1 + 2x_2 p_2 = p_1 + p_2$

$(-2x_1 + x_2 - 1) p_1 + (2x_2 - 1)p_2 = 0$

上記の$p_2 = p_1 (x_1 - x_2 - 1)$を代入すると

$(-2x_1 + x_2 - 1) p_1 + (2x_2 - 1) (x_1 - x_2 - 1) p_1 = 0$

$p_1((-2x_1 + x_2 - 1) + (2x_2 - 1) (x_1 - x_2 - 1)) = 0$

$-2x_1 + x_2 - 1 + 2x_1x_2 - 2x_2^2 - 2x_2 - x_1 + x_2 + 1 = 0$

$-3x_1 + 2x_1 x_2 - 2x_2^2 = 0$

$x_1 (2x_2 - 3) = 2x_2^2$

$x_1 = \frac{2x_2^2}{2x_2 - 3}$

一つ目の式を使う。$x_1 = x_2 + 1 + \frac{p_2}{p_1}$

$\frac{2x_2^2}{2x_2 - 3} = x_2 + 1 + \frac{p_2}{p_1}$

$\frac{2x_2^2}{2x_2 - 3} - x_2 - 1 = \frac{p_2}{p_1}$

$\frac{2x_2^2 - 2x_2^2 + 3x_2 - 2x_2 + 3}{2x_2 - 3} = \frac{p_2}{p_1}$

$\frac{x_2 + 3}{2x_2 - 3} = \frac{p_2}{p_1}$

しかし問題文に解の候補がないため、元の行列Aが間違っている可能性がある。

$A=(p_1\ p_2\ p_3)$を前提に計算すると、$Ax = p_1+p_2$となる$x$は、$x_1 = 1, x_2 = 1, x_3=0$である。

また問題文のAの定義が間違っている可能性がある。

$A = (p_1\ -2p_1\ p_2\ -p_1+2p_2)$ は2x2の行列ではなく、ベクトルが並んだものではないか。

3. 最終的な答え

問題文が不明確なため、解なし。