与えられた行列 $A$ の階数を求めます。 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & a & a^2-a \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の階数を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & a & a^2-a \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ の階数を求めるために、行列の基本変形を行い、階段行列に変形させます。

1行目を基準に、2行目と3行目をそれぞれ1行目を使って簡略化します。

2行目から1行目を引きます（2行目 - 1行目）。

3行目から1行目の2倍を引きます（3行目 - 2 * 1行目）。

$\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & a & a^2-a \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a^2-a \\ 0 & -a & 1 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a^2-a \\ 0 & -a & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & -a & 1 \\ 0 & 0 & a^2-a \end{pmatrix}$

これで階段行列の形になりました。

行列の階数は、0でない行の数です。

場合分けをします。

場合1: $a = 0$ の場合、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

このとき、行列の階数は2です。

場合2: $a = 1$ の場合、

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

このとき、行列の階数は2です。

場合3: $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ の場合、

$\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & -a & 1 \\ 0 & 0 & a^2-a \end{pmatrix}$

このとき、$a^2 - a \neq 0$ であるので、行列の階数は3です。

まとめると、

$a = 0$ または $a = 1$ のとき、階数は2です。

$a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、階数は3です。

3. 最終的な答え

- $a = 0$ または $a = 1$ のとき、階数は2。

- $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ のとき、階数は3。