関数 $y = \frac{2x + a}{x + b}$ のグラフが $x$ 軸と点 $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, -2)$ で交わる時、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x + a}{x + b}$ のグラフが $x$ 軸と点 $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, -2)$ で交わる時、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点 $(3, 0)$ を与えられた関数に代入すると、以下の式が得られます。

$0 = \frac{2(3) + a}{3 + b}$

分母が0になることはないので、分子が0である必要があります。よって、

$2(3) + a = 0$

$6 + a = 0$

$a = -6$

次に、$y$ 軸との交点 $(0, -2)$ を与えられた関数に代入します。$a = -6$ であることを考慮すると、以下の式が得られます。

$-2 = \frac{2(0) + a}{0 + b}$

$-2 = \frac{a}{b}$

$-2 = \frac{-6}{b}$

この式を解いて $b$ の値を求めます。

$-2b = -6$

$b = \frac{-6}{-2}$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 3$