$a$ を定数とする。2次関数 $y = x^2 - 2x + a + 2$ の最小値が $4a + 3$ のとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次関数 $y = x^2 - 2x + a + 2$ の最小値が $4a + 3$ のとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + a + 2 = (x - 1)^2 - 1 + a + 2 = (x - 1)^2 + a + 1$

この関数の最小値は $x = 1$ のとき、$a + 1$ となります。

問題文より、この最小値は $4a + 3$ であるので、

$a + 1 = 4a + 3$

この方程式を解いて $a$ を求めます。

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{2}{3}$