袋Aには白玉3個、赤玉2個、袋Bには白玉3個が入っている。 操作：Aから玉を1個取り出しBに入れ、よく混ぜた後、Bから玉を1個取り出しAに入れる。 この操作をn回繰り返した後に、Aが白玉だけになる確率 $P_n$ の漸化式を求める。

1. 問題の内容

袋Aには白玉3個、赤玉2個、袋Bには白玉3個が入っている。

操作：Aから玉を1個取り出しBに入れ、よく混ぜた後、Bから玉を1個取り出しAに入れる。

この操作をn回繰り返した後に、Aが白玉だけになる確率 $P_n$ の漸化式を求める。

2. 解き方の手順

n回操作後、Aが白玉のみである確率を $P_n$ とする。

n+1回操作後にAが白玉のみとなるためには、n回操作後にAが白玉のみであるか、n回操作後にAに赤玉が1個だけ含まれるかのどちらかである。

(i) n回操作後にAが白玉のみである場合：

確率 $P_n$ でAは白玉5個となる。この時、Aから白玉を取り出しBに入れ、Bから白玉を取り出しAに戻す必要がある。

Aから白玉を取り出す確率は1。Bには白玉4個なので、Bから白玉を取り出す確率は1。

この場合、n+1回操作後にAが白玉のみになる確率は $P_n \times 1 \times 1 = P_n$。

(ii) n回操作後にAに赤玉が1個だけ含まれる場合：

Aには白玉4個、赤玉1個が含まれている。Aから赤玉を取り出しBに入れる必要がある。確率は $\frac{1}{5}$。

この時Bには白玉4個、赤玉1個が含まれている。Bから赤玉を取り出しAに戻す必要がある。確率は $\frac{1}{5}$。

n回操作後にAに赤玉が1個だけ含まれる確率は $1-P_n$ではないので、n回操作後にAに赤玉がk個(1<=k<=2)だけ含まれる確率を $q_n$ と定義する。そして、$q_n$をうまく表す必要がある。

n回後にAに赤玉が１個だけの場合、

Aから赤玉を引く確率は $1/5$

Bは白玉4個、赤玉1個になるので、Bから赤玉を引く確率は $1/5$

したがって、$P_{n+1} = P_n + \frac{1}{5}\frac{1}{5}q_n$

n回後にAに赤玉が２個だけの場合、

Aから赤玉を引く確率は $2/5$

Bは白玉4個、赤玉1個になるので、Bから赤玉を引く確率は $1/5$

n回後にAに赤玉が０個だけの場合、

Aから白玉を引く確率は $1$

Bは白玉4個になるので、Bから赤玉を引く確率は $0$

となる。

Aに赤玉がk個含まれる時、

$P_{n+1} = P_n + (1/5) \times (1/4+1) / (3+2-1) = P_n + \frac{1}{25} q_n$ となる。

$P_n + q_n < 1$ は明らか。

n+1回後にAが白玉だけになるには、n回後にはAが白玉だけか、Aに赤玉が一個だけ残っていて、Aから赤玉を引き、Bから赤玉を引く必要がある。

Aに白玉のみのとき、$P_n$

Aに赤玉が１個のとき、$q_n$

Aに赤玉が２個のとき、$r_n$

$P_n + q_n + r_n = 1$

$P_{n+1} = P_n + \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} q_n$

$q_{n+1} = q_n$

$P_{n+1} = P_n + \frac{1}{25} q_n$

3. 最終的な答え

$P_{n+1} = P_n + \frac{1}{25}(1-P_n) = \frac{24}{25} P_n + \frac{1}{25}$

Aから白玉を取り出す:確率3/5

Aから赤玉を取り出す:確率2/5

$P_0 = 0$

$P_{n+1} = \frac{24}{25} P_n + \frac{1}{25}$