与えられた二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x + 5$　($1 < x < 3$) (2) $y = -x^2 - x + 2$　($0 \le x < 1$) (3) $y = 3x^2 - 4x + 1$　($0 < x \le 2$) (4) $y = -2x^2 + 6x - 1$　($x \ge \sqrt{2}$)

## 回答

1. 問題の内容

与えられた二次関数の、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x + 5$　($1 < x < 3$)

(2) $y = -x^2 - x + 2$　($0 \le x < 1$)

(3) $y = 3x^2 - 4x + 1$　($0 < x \le 2$)

(4) $y = -2x^2 + 6x - 1$　($x \ge \sqrt{2}$)

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、与えられた範囲内で最大値および最小値となる $x$ の値を調べます。ただし、範囲に端点が含まれない場合は、その点で最大値または最小値が存在しないことがあります。

(1) $y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$ です。

$1 < x < 3$ の範囲で、$x = 2$ のとき最小値 $1$ をとります。

$x = 1$ に近づくとき $y = 2$、$x = 3$ に近づくとき $y = 2$ となりますが、$x = 1$ と $x = 3$ は範囲に含まれないため、最大値はありません。

(2) $y = -x^2 - x + 2 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。

$0 \le x < 1$ の範囲で、$x = 0$ のとき最大値 $2$ をとります。

$x = 1$ に近づくとき $y = 0$ となりますが、$x = 1$ は範囲に含まれないため、最小値はありません。

(3) $y = 3x^2 - 4x + 1 = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{1}{3}$

頂点の座標は $(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ です。

$0 < x \le 2$ の範囲で、$x = \frac{2}{3}$ のとき最小値 $-\frac{1}{3}$ をとります。

$x = 2$ のとき最大値 $3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$ をとります。

(4) $y = -2x^2 + 6x - 1 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ です。

$x \ge \sqrt{2}$ の範囲で、$x = \sqrt{2}$ のとき最小値 $-2(\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} - 1 = -4 + 6\sqrt{2} - 1 = 6\sqrt{2} - 5$ をとります。

$x = \frac{3}{2} < \sqrt{2}$ ではないため、頂点は範囲に含まれません。頂点から離れるにつれて、$y$ は小さくなるので最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$1$ ($x = 2$のとき)、最大値：なし

(2) 最大値：$2$ ($x = 0$のとき)、最小値：なし

(3) 最大値：$5$ ($x = 2$のとき)、最小値：$-\frac{1}{3}$ ($x = \frac{2}{3}$のとき)

(4) 最小値：$6\sqrt{2} - 5$ ($x = \sqrt{2}$のとき)、最大値：なし