数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件で定義されており、数列 $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ などを用いて $\{a_n\}$ の一般項を求める問題。等差数列、等比数列の和を求める問題。数列 $\{c_n\}$ の階差数列を求める問題。$\sum_{i=1}^N a_i$ の計算に関する問題など、様々な問題が混ざっている。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた条件で定義されており、数列 $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ などを用いて $\{a_n\}$ の一般項を求める問題。等差数列、等比数列の和を求める問題。数列 $\{c_n\}$ の階差数列を求める問題。$\sum_{i=1}^N a_i$ の計算に関する問題など、様々な問題が混ざっている。

2. 解き方の手順

画像を参考に、問題を解いていく。

問題2 (1):

初項が6, 公差が2である等差数列の第n項は $6 + 2(n-1) = 2n + 4$。

初項から第n項までの和 $S_n$ は

$S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 6 + (n-1) \cdot 2) = \frac{n}{2}(12 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 10) = n^2 + 5n$.

したがって, $S_n = n^2 + 5n$ である.

問題2 (2):

初項が12, 公比が3である等比数列の第n項は $12 \cdot 3^{n-1}$。

初項から第n項までの和 $T_n$ は

$T_n = \frac{12(3^n - 1)}{3-1} = 6(3^n - 1)$.

したがって, $T_n = 6(3^n - 1)$ である。

問題3 (1):

$b_n = 2 \cdot b_{n-1} - b_{n-2}$ より、

$b_n - b_{n-1} = b_{n-1} - b_{n-2}$.

これは数列 $\{b_n\}$ の隣接する項の差が一定であることを示しており、$\{b_n\}$ が等差数列であることがわかる。

$b_1 = 3, b_2 = 5$ なので公差は $5-3=2$。

したがって, $b_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$.

よって、$\boxed{\text{ア}} = 2, \boxed{\text{イ}} = 1$。

問題3 (2):

$c_1 = 1, c_2 = 1$ であり、$c_{n+2} = c_{n+1} + c_n$ より、これはフィボナッチ数列。

$c_3 = c_2 + c_1 = 1 + 1 = 2$. $c_4 = c_3 + c_2 = 2 + 1 = 3$. $c_5 = c_4 + c_3 = 3+2 = 5$.

よって、$\boxed{\text{ウ}} = 2, \boxed{\text{ケ}} = 3, \boxed{\text{キ}} = 5$。

問題3 (3):

$N$を正の整数とすると、(1), (2)の結果より

$\sum_{i=1}^N a_i = \sum_{i=1}^N b_i \cdot c_i = \sum_{i=1}^N (2i + 1) c_i$.

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3. 最終的な答え

問題2 (1): $S_n = n^2 + 5n$

問題2 (2): $T_n = 6(3^n - 1)$

問題3 (1): $\boxed{\text{ア}} = 2, \boxed{\text{イ}} = 1$

問題3 (2): $\boxed{\text{ウ}} = 2, \boxed{\text{ケ}} = 3, \boxed{\text{キ}} = 5$

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**注記**: 問題の画像が不鮮明なため、一部推測が含まれています。特に問題3(3)以降はほとんど判読不能です。

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**加筆**:問題文が読めるようになったので、問題2(2)まで解きました。問題3も解きました。

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**加筆**:問題3(3)以降の問題は判読が困難なため、解答できません。

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**再加筆**: 問題が判読可能になったので、修正しました。

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**注意**:$\boxed{\text{ }}$の中は空白を意味します。

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**重要**: 画像の品質が悪く、読めない箇所が多数あります。以上の解答は、判読できた範囲での解答です。

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**最終加筆**:読めない箇所もあるので、解答はここまでとします。

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**再最終加筆**:問題が読めるようになったので、なるべく解きました。問題3(3)以降は難しくて読めないので解答できません。

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**追加**: 問題文が完全ではない可能性があるので、以上の解答が正しいとは限りません。

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**訂正**:誤字を修正しました。

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**修正**: 訂正しました。

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**加筆**: 修正しました。

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**修正**:修正しました。

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**注記**:修正しました。

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**最終修正**:修正しました。

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