与えられた5つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^2 + (2a+5)x + a^2 + 5a - 6$ (2) $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ (3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ (4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ (5) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$

1. 問題の内容

与えられた5つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^2 + (2a+5)x + a^2 + 5a - 6$

(2) $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$

(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$

(4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$

(5) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + (2a+5)x + a^2 + 5a - 6$ を因数分解します。

まず、定数項である $a^2 + 5a - 6$ を因数分解します。

$a^2 + 5a - 6 = (a+6)(a-1)$

次に、$x^2 + (2a+5)x + (a+6)(a-1)$ を因数分解します。

$(x + (a+6))(x + (a-1))$ となることを確認します。

$(x + a + 6)(x + a - 1)$ を展開すると

$x^2 + x(a-1) + x(a+6) + (a+6)(a-1) = x^2 + (2a+5)x + a^2 + 5a - 6$ となり、元の式と一致します。

(2) $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解します。

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$

次に、与式全体を $(x+2y+A)(x+3y+B)$ の形になると仮定して展開してみます。

$(x+2y+A)(x+3y+B) = x^2 + 5xy + 6y^2 + (A+B)x + (3A+2B)y + AB$

この式が $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ と一致するように、$A$と$B$を決定します。

$A+B = -2$

$3A+2B = -7$

上の式を3倍して、下の式から引くと、$B - 6 = -1$, $B = -1$

$A = -2 - B = -2 - (-1) = -1$

$AB = (-1)(-1) = 1 \neq -3$なので、他の方法を考えます。

$x$について整理すると

$x^2 + (5y-2)x + (6y^2 - 7y -3)$ となります。

$6y^2 - 7y - 3 = (2y-3)(3y+1)$

よって、$x^2 + (5y-2)x + (2y-3)(3y+1) = (x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$

(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を因数分解します。

$x^2 - 4x - (y^2 + 6y + 5)$ と変形します。

$y^2 + 6y + 5 = (y+1)(y+5)$ なので、

$x^2 - 4x - (y+1)(y+5)$ となります。

ここで、$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ であることを利用すると、

$x^2 - 4x - (y^2 + 6y + 5) = x^2 - 4x + 4 - 4 - (y^2 + 6y + 9) + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2$

これは、平方の差の形なので、

$(x-2)^2 - (y+3)^2 = (x-2 - (y+3))(x-2 + (y+3)) = (x-y-5)(x+y+1)$

(4) $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ を因数分解します。

$3x^2$と$15y^2$から、$(3x - ay)(x - by)$という形になると考えます。$ab=15$なので、$(3x - 5y)(x - 3y)$, $(3x - 3y)(x - 5y)$など候補があります。

$3x^2 - 14xy + 15y^2 = (3x - 5y)(x - 3y)$ となります。

そこで、$(3x - 5y + A)(x - 3y + B)$ の形になると仮定して展開してみます。

$(3x - 5y + A)(x - 3y + B) = 3x^2 - 14xy + 15y^2 + (3B + A)x + (-5B - 3A)y + AB$

この式が $3x^2 - 14xy + 15y^2 + 13x - 23y + 4$ と一致するように、$A$と$B$を決定します。

$3B + A = 13$

$-5B - 3A = -23$

上の式を3倍して、下の式に足すと、$4B = 16$, $B = 4$

$A = 13 - 3B = 13 - 3(4) = 1$

$AB = (1)(4) = 4$ となり、元の式と一致します。

よって、$(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

(5) $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解します。

$2a^2 - 7ax + 6x^2 = (2a - 3x)(a - 2x)$ となることを利用して、

$(3x - 2a + A)(2x - a + B)$ の形になると仮定して展開してみます。

$(3x - 2a + A)(2x - a + B) = 6x^2 - 7ax + 2a^2 + (3B + 2A)x + (-2B - A)a + AB$

この式が $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ と一致するように、$A$と$B$を決定します。

$3B + 2A = -6$

$-2B - A = 5$

上の式を2倍して、下の式を3倍して足すと、$A = 3$

$3B + 2(3) = -6$

$3B = -12$, $B = -4$

$AB = (3)(-4) = -12$ となり、元の式と一致します。

よって、$(3x - 2a + 3)(2x - a - 4)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + a + 6)(x + a - 1)$

(2) $(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$

(3) $(x - y - 5)(x + y + 1)$

(4) $(3x - 5y + 1)(x - 3y + 4)$

(5) $(3x - 2a + 3)(2x - a - 4)$