3次元ベクトル $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ と $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ が与えられたとき、 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ を計算せよ。ここで、$\times$ は外積、$\cdot$ は内積を表す。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

3次元ベクトル $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ と $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ が与えられたとき、 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ を計算せよ。ここで、$\times$ は外積、$\cdot$ は内積を表す。

2. 解き方の手順

まず、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

次に、和 $\vec{a} + \vec{b}$ を計算します。

最後に、これらの内積を計算します。

外積の定義より、

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

和の定義より、

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$

内積の定義より、

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (a_y b_z - a_z b_y)(a_x + b_x) + (a_z b_x - a_x b_z)(a_y + b_y) + (a_x b_y - a_y b_x)(a_z + b_z)$

展開すると、

$a_y b_z a_x + a_y b_z b_x - a_z b_y a_x - a_z b_y b_x + a_z b_x a_y + a_z b_x b_y - a_x b_z a_y - a_x b_z b_y + a_x b_y a_z + a_x b_y b_z - a_y b_x a_z - a_y b_x b_z$

整理すると、

$a_x a_y b_z - a_x a_z b_y + a_x b_y b_z - a_x b_z b_y - a_y a_x b_z + a_y a_z b_x + a_y b_x b_z - a_y b_z b_x + a_z a_x b_y - a_z a_y b_x + a_z b_x b_y - a_z b_y b_x$

さらに整理すると、すべての項がキャンセルされ、0になります。

$\begin{aligned}

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) &= (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} + (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} \\

&= 0 + 0 \\

&= 0

\end{aligned}$

3. 最終的な答え

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$