連立不等式 $x^2 + 4y^2 \le 4$ と $x + 2y \ge 2$ の表す領域をDとする。点$(x, y)$がD内を動くとき、$2x + y$ の最小値と最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式 $x^2 + 4y^2 \le 4$ と $x + 2y \ge 2$ の表す領域をDとする。点$(x, y)$がD内を動くとき、$2x + y$ の最小値と最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$x^2 + 4y^2 \le 4$ は楕円を表し、$x + 2y \ge 2$ は直線を表します。

楕円の式を $\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1$ と変形すると、$x = 2X$ と置換することで、円 $X^2 + y^2 \le 1$ に変換できます。

次に、直線 $x + 2y \ge 2$ を変形すると、 $2X + 2y \ge 2$ となり、$X + y \ge 1$ となります。

ここで、$k = 2x + y$ とおくと、$y = -2x + k$ となります。この直線が領域Dと共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求めます。

置換後の変数 $X, y$ で考えると、$k = 4X + y$ となり、$y = -4X + k$ です。

円 $X^2 + y^2 = 1$ と直線 $X + y = 1$ の交点は、$y = 1 - X$ を円の式に代入して、$X^2 + (1 - X)^2 = 1$ より、$2X^2 - 2X = 0$。よって、$2X(X - 1) = 0$ より、$X = 0, 1$。

$X = 0$ のとき $y = 1$。$X = 1$ のとき $y = 0$。元の変数に戻すと、$x = 2X$ より、$x = 0, 2$。

したがって、交点は $(0, 1)$ と $(2, 0)$ です。

$2x + y$ の最小値は、$(0, 1)$ を代入して $2(0) + 1 = 1$ となります。

$2x + y$ の最大値を求めるためには、直線 $y = -2x + k$ が楕円 $x^2 + 4y^2 = 4$ に接する状況を考えます。

$y = -2x + k$ を楕円の式に代入すると、$x^2 + 4(-2x + k)^2 = 4$ となります。

$x^2 + 4(4x^2 - 4xk + k^2) = 4$

$x^2 + 16x^2 - 16xk + 4k^2 = 4$

$17x^2 - 16kx + (4k^2 - 4) = 0$

判別式 $D = (-16k)^2 - 4(17)(4k^2 - 4) = 0$

$256k^2 - 68(4k^2 - 4) = 0$

$256k^2 - 272k^2 + 272 = 0$

$-16k^2 + 272 = 0$

$16k^2 = 272$

$k^2 = \frac{272}{16} = \frac{17 \cdot 16}{16} = 17$

$k = \pm \sqrt{17}$

$k$ の最大値は $\sqrt{17}$ です。

$x = \frac{16k}{2(17)} = \frac{8k}{17} = \frac{8\sqrt{17}}{17}$

$y = -2x + k = -2(\frac{8\sqrt{17}}{17}) + \sqrt{17} = -\frac{16\sqrt{17}}{17} + \frac{17\sqrt{17}}{17} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

最小値のとき、$(x, y) = (0, 1)$

最大値のとき、$(x, y) = (\frac{8\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{17})$

3. 最終的な答え

最小値は 1 である。

最大値は $\sqrt{17}$ である。

そのときの $x, y$ は $x = 0, y = 1$ である。