与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。 (i) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。

(i) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(i)

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列を作り、その行列式を計算します。

行列式が0でなければ線形独立、0であれば線形従属です。

行列を$A$とすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

行列式は

$det(A) = 1(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-3)) - (-1)(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + 1(2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1)$

$det(A) = 1(4) + 1(4) + 1(-6 - 2) = 4 + 4 - 8 = 0$

(ii)

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列を作り、その行列式を計算します。

行列式が0でなければ線形独立、0であれば線形従属です。

行列を$B$とすると、

$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

行列式は

$det(B) = 2(2 \cdot 2 - 0 \cdot (-3)) - (-1)(2 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + 1(2 \cdot (-3) - 2 \cdot 1)$

$det(B) = 2(4) + 1(4) + 1(-6 - 2) = 8 + 4 - 8 = 4$

3. 最終的な答え

(i) 線形従属 (行列式が0のため)

(ii) 線形独立 (行列式が0でないため)