9色のカードがある。以下の配り方、分け方、選び方の総数を求める。 (1) A, B, C, Dの4人に1枚ずつ配る配り方。 (2) A, B, Cの3人に3枚ずつ配る配り方。 (3) 3枚ずつ3つの組に分ける分け方。 (4) 1人が何枚でも好きなだけ選ぶ選び方。ただし、1枚も選ばなくてもよいとする。 (5) 1人が何枚でも好きなだけ選ぶ選び方。ただし、最低でも3枚は選ぶものとする。

1. 問題の内容

9色のカードがある。以下の配り方、分け方、選び方の総数を求める。

(1) A, B, C, Dの4人に1枚ずつ配る配り方。

(2) A, B, Cの3人に3枚ずつ配る配り方。

(3) 3枚ずつ3つの組に分ける分け方。

(4) 1人が何枚でも好きなだけ選ぶ選び方。ただし、1枚も選ばなくてもよいとする。

(5) 1人が何枚でも好きなだけ選ぶ選び方。ただし、最低でも3枚は選ぶものとする。

2. 解き方の手順

(1) 4人に1枚ずつ配るので、9枚から4枚を選んで並べる順列となる。

$_9P_4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

(2) まず9枚からAさんに3枚を選び、次に残った6枚からBさんに3枚を選び、最後に残った3枚をCさんに配る。

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

(3) 9枚のカードを3枚ずつ3つの組に分ける。これは(2)と同じだが、組に区別がないので、3!で割る必要がある。

$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!3!3!}$

(4) 各カードについて、選ぶか選ばないかの2通りがあるので、$2^9$となる。

(5) 全体の選び方から、0枚、1枚、2枚の選び方を引けば良い。

* 0枚の選び方：1通り

* 1枚の選び方：$_9C_1 = 9$ 通り

* 2枚の選び方：$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ 通り

したがって、3枚以上選ぶ選び方は、$2^9 - 1 - 9 - 36 = 512 - 46$となる。

3. 最終的な答え

(1) $_9P_4 = 3024$ 通り

(2) $_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = 1680$ 通り

(3) $\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = 280$ 通り

(4) $2^9 = 512$ 通り

(5) $2^9 - 1 - 9 - 36 = 466$ 通り