白玉2個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を$X$とする。このとき、$X$の確率分布を求める。

1. 問題の内容

白玉2個と黒玉3個が入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を$X$とする。このとき、$X$の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

$X$は黒玉の個数なので、$X$が取りうる値は1個, 2個, 3個です。それぞれの確率を計算します。

全部で5個の玉から4個を取り出すので、取り出し方の総数は ${}_5C_4 = 5$通りです。

* $X=1$ のとき：黒玉1個と白玉3個を取り出す必要がありますが、白玉は2個しかないのであり得ません。

したがって、$P(X=1) = 0$です。

* $X=2$ のとき：黒玉2個と白玉2個を取り出す確率を計算します。

黒玉2個の取り出し方は ${}_3C_2 = 3$通り、白玉2個の取り出し方は ${}_2C_2 = 1$通りです。

したがって、$P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_2C_2}{{}_5C_4} = \frac{3 \times 1}{5} = \frac{3}{5}$です。

* $X=3$ のとき：黒玉3個と白玉1個を取り出す確率を計算します。

黒玉3個の取り出し方は ${}_3C_3 = 1$通り、白玉1個の取り出し方は ${}_2C_1 = 2$通りです。

したがって、$P(X=3) = \frac{{}_3C_3 \times {}_2C_1}{{}_5C_4} = \frac{1 \times 2}{5} = \frac{2}{5}$です。

確率分布は以下のようになります。

| $X$ | 1 | 2 | 3 |

| --- | - | --- | --- |

| $P$ | 0 | 3/5 | 2/5 |

3. 最終的な答え

$X$の確率分布は以下の表の通りです。

| $X$ | 1 | 2 | 3 |

| --- | - | --- | --- |

| $P$ | 0 | 3/5 | 2/5 |