数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = \frac{c}{1+c}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ を満たします。ただし、$c$ は正の実数です。このとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_2, a_3$ を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = \frac{c}{1+c}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ を満たします。ただし、$c$ は正の実数です。このとき、以下の問いに答えます。

(1) $a_2, a_3$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3$ を求める。

$a_1 = \frac{c}{1+c}$ を用いて、漸化式から順に計算します。

$a_2 = \frac{1}{2-a_1} = \frac{1}{2-\frac{c}{1+c}} = \frac{1}{\frac{2+2c-c}{1+c}} = \frac{1+c}{2+c}$

$a_3 = \frac{1}{2-a_2} = \frac{1}{2-\frac{1+c}{2+c}} = \frac{1}{\frac{4+2c-1-c}{2+c}} = \frac{2+c}{3+c}$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

$a_1 = \frac{c}{1+c}, a_2 = \frac{1+c}{2+c}, a_3 = \frac{2+c}{3+c}$ から、$a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$ と推測できます。

数学的帰納法でこれを証明します。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1-1+c}{1+c} = \frac{c}{1+c}$ となり、成立します。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k-1+c}{k+c}$ が成立すると仮定します。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{1}{2-a_k} = \frac{1}{2-\frac{k-1+c}{k+c}} = \frac{1}{\frac{2k+2c-k+1-c}{k+c}} = \frac{k+c}{k+1+c}$ となり、成立します。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$ が成立します。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)$ を求める。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+c}{n+1+c}}{\frac{n-1+c}{n+c}} = \frac{n+c}{n+1+c} \cdot \frac{n+c}{n-1+c} = \frac{(n+c)^2}{(n+1+c)(n-1+c)} = \frac{(n+c)^2}{n^2+2nc+c^2-1}$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 = \frac{(n+c)^2 - (n^2+2nc+c^2-1)}{(n+1+c)(n-1+c)} = \frac{1}{(n+1+c)(n-1+c)}$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}-1 = \frac{1}{(n+c+1)(n+c-1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1})$

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{c} + \frac{1}{1+c})$

$= \frac{1}{2} \frac{1+c+c}{c(1+c)} = \frac{1+2c}{2c(1+c)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{1+c}{2+c}, a_3 = \frac{2+c}{3+c}$

(2) $a_n = \frac{n-1+c}{n+c}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) = \frac{1+2c}{2c(1+c)}$