次の3つの関数について、マクローリン展開を求めます。 (1) $\frac{1}{4+x^2}$ (2) $(e^x - e^{-x})^2$ (3) $\cos^2 x$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、マクローリン展開を求めます。

(1) $\frac{1}{4+x^2}$

(2) $(e^x - e^{-x})^2$

(3) $\cos^2 x$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{4+x^2}$ のマクローリン展開

まず、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ を利用します。

$\frac{1}{4+x^2} = \frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{x^2}{4})}$

$= \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x^2}{4})^n = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^{n+1}}$

(2) $(e^x - e^{-x})^2$ のマクローリン展開

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

$e^x - e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-(-1)^n)x^n}{n!}$

$n$ が偶数のとき、$1-(-1)^n = 0$ なので、$n$ が奇数のときのみ残ります。

$e^x - e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k+1}}{(2k+1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = 2(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots) = 2 \sinh x$

したがって、

$(e^x - e^{-x})^2 = (2 \sinh x)^2 = 4 \sinh^2 x = 4(\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = (e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}$ より、 $e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^n}{n!}$

$(e^x - e^{-x})^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - 2 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+(-1)^n)(2x)^n}{n!} - 2$

$n$ が奇数のときは $1 + (-1)^n = 0$ なので、$n$が偶数のときのみ残ります。$n=2k$とおくと、

$= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2(2x)^{2k}}{(2k)!} - 2 = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} - 2 = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^k x^{2k}}{(2k)!} = 2( \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} + \dots ) = 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \frac{4}{45} x^6 + ...$

$4 \sinh^2 x = 4(\sinh x)^2 = 4(x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots)^2 = 4(x^2 + \frac{x^4}{3} + \dots)$

$= 4x^2 + \frac{4}{3} x^4 + O(x^6)$

(3) $\cos^2 x$ のマクローリン展開

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \frac{64x^6}{6!} + \dots)$

$= 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{4^{n+1}}$

(2) $(e^x - e^{-x})^2 = 4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^{k-1} x^{2k}}{(2k)!}$

(3) $\cos^2 x = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{2(2n)!}$