$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+2x}-x$ を計算し、その結果に $2x$ を加えることで元の式を$\sqrt{x^2+2x}+x$ と変形します。

次に、$x \to \infty$で$\sqrt{x^2+2x}-x$を計算します。

$\infty - \infty$の不定形であるため、有理化を行います。

$\sqrt{x^2 + 2x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{x^2 + 2x - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x}$

$x > 0$ に注意して $x$ を根号の中に入れると、

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} + x} = \frac{2x}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

したがって、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - x + 2x)$とすると、

$x \to \infty$で発散するので、このやり方では解けない

$\sqrt{x^2+2x}+x = (\sqrt{x^2+2x}-x) +2x$

$=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}+2x$

$=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1} + 2x$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} + 2x$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+2/x}+1} = \frac{2}{2} = 1$

なので$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ は発散する.

正しくは

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 2/x} + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\infty$