2直線 $x=3$ , $y=2$ を漸近線として、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2直線 $x=3$ , $y=2$ を漸近線として、点 $(1,1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ であり、この関数のグラフの漸近線は $x = -\frac{d}{c}$ と $y = \frac{a}{c}$ である。

問題文より、漸近線が $x=3$ と $y=2$ なので、

$-\frac{d}{c} = 3$

$\frac{a}{c} = 2$

となる。

$d = -3c$ と $a = 2c$ を得る。

これらを $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ に代入すると、

$y = \frac{2cx+b}{cx-3c}$

$y = \frac{2x+\frac{b}{c}}{x-3}$

となる。ここで、$\frac{b}{c}$ を $k$ とおくと、

$y = \frac{2x+k}{x-3}$

となる。

この関数が点 $(1,1)$ を通るので、$x=1$ , $y=1$ を代入すると、

$1 = \frac{2(1)+k}{1-3}$

$1 = \frac{2+k}{-2}$

$-2 = 2+k$

$k = -4$

よって、$y = \frac{2x-4}{x-3}$

となる。

ここで、$a=2c$, $b=-4c$, $d=-3c$ であることを思い出すと、

$y = \frac{2cx-4c}{cx-3c} = \frac{c(2x-4)}{c(x-3)}$

$y = \frac{2x-4}{x-3}$

となる。

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$