連続型確率変数 $X$ の分布関数 $F(x)$ が与えられています。 $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2/4, & 0 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}$ このとき、$E(X) = \mu = 1/3$, $V(X) = \sigma^2 = 2/3$ が与えられています。 $P(-1 < X - \mu < 1)$ の値を求め、$\mu^2 + \sigma^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

連続型確率変数 $X$ の分布関数 $F(x)$ が与えられています。

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2/4, & 0 \leq x \leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}$

このとき、$E(X) = \mu = 1/3$, $V(X) = \sigma^2 = 2/3$ が与えられています。

$P(-1 < X - \mu < 1)$ の値を求め、$\mu^2 + \sigma^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$P(-1 < X - \mu < 1)$ を計算します。

$P(-1 < X - \mu < 1) = P(\mu - 1 < X < \mu + 1)$

$\mu = E(X) = 1/3$ なので、

$P(-1 < X - \mu < 1) = P(1/3 - 1 < X < 1/3 + 1) = P(-2/3 < X < 4/3)$

分布関数 $F(x)$ を用いて確率を計算します。

$P(-2/3 < X < 4/3) = P(X < 4/3) - P(X \leq -2/3)$

$X$ が負の値を取る確率はないので、$P(X \leq -2/3) = 0$ です。

$P(X < 4/3) = F(4/3) = (4/3)^2 / 4 = (16/9) / 4 = 16/36 = 4/9$

したがって、$P(-1 < X - \mu < 1) = 4/9$

次に、$\mu^2 + \sigma^2$ の値を計算します。

$\mu = 1/3$ なので、$\mu^2 = (1/3)^2 = 1/9$

$\sigma^2 = 2/3$ なので、

$\mu^2 + \sigma^2 = 1/9 + 2/3 = 1/9 + 6/9 = 7/9$

3. 最終的な答え

$P(-1 < X - \mu < 1) = 4/9$

$\mu^2 + \sigma^2 = 7/9$

与えられた$P(-1 < X - \mu < 1)$ と $\mu^2+\sigma^2$ のマスを埋めると：

$P(-1 < X - \mu < 1) = 4/9$

$\mu^2 + \sigma^2 = 7/9$

画像の中の$P(-1 < X - \mu < 1) = \frac{4}{6}$と $\mu^2 + \sigma^2 = 8$ は間違っています。

問題文の穴埋めをすると次のようになります。

$P(-1 < X - \mu < 1) = \frac{4}{9}$

$\mu^2 + \sigma^2 = \frac{7}{9}$