整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが 3, $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+2$ である。$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが 3, $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+2$ である。$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^2 + bx + c$ とすると、

$$P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + ax^2 + bx + c$$

と表せる。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+2$ であるから、$ax^2 + bx + c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $x+2$ となる。

したがって、

$$ax^2 + bx + c = a(x-1)^2 + x + 2$$

と表せる。よって、

$$P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + a(x-1)^2 + x + 2$$

$P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが 3 であるから、$P(2) = 3$。

$$P(2) = (2-1)^2(2-2)Q(2) + a(2-1)^2 + 2 + 2 = 3$$

$$0 + a(1)^2 + 4 = 3$$

$$a + 4 = 3$$

$$a = -1$$

したがって、余りは

$$-(x-1)^2 + x + 2 = -(x^2 - 2x + 1) + x + 2 = -x^2 + 2x - 1 + x + 2 = -x^2 + 3x + 1$$

3. 最終的な答え

$-x^2 + 3x + 1$