与えられた $x$ の方程式 $3\cos^2 x + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 = 0$ (これを式①とします) について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 式①を $(3\sin x - \text{[ア]})(\sin x - \text{[イ]}) = 0$ の形に変形します。 (2) 式①が解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた $x$ の方程式 $3\cos^2 x + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 = 0$ (これを式①とします) について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 式①を $(3\sin x - \text{[ア]})(\sin x - \text{[イ]}) = 0$ の形に変形します。

(2) 式①が解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 式①を変形します。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて、式①を $\sin x$ の式で表します。

\begin{align*}

3(1-\sin^2 x) + a(6a+7)\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 &= 0 \\

3 - 3\sin^2 x + 6a^2\sin x + 7a\sin x - 8a^3 - 4a^2 - 3 &= 0 \\

-3\sin^2 x + (6a^2 + 7a)\sin x - 8a^3 - 4a^2 &= 0 \\

3\sin^2 x - (6a^2 + 7a)\sin x + 8a^3 + 4a^2 &= 0

\end{align*}

この2次方程式を因数分解することを考えます。定数項 $8a^3 + 4a^2 = 4a^2(2a+1)$ に着目すると、

$(3\sin x - A)(\sin x - B) = 0$

の形に変形できると仮定すると、

$3\sin^2 x - (3B+A)\sin x + AB = 0$

となります。したがって、

\begin{align*}

3B+A &= 6a^2 + 7a \\

AB &= 8a^3 + 4a^2 = 4a^2(2a+1)

\end{align*}

となる $A, B$ を見つけます。$3\sin x -4a^2$ と $\sin x - (2a+1)$ とおくと

$3(2a^2+a)+4a^2 = 6a^2+3a+4a^2=10a^2+3a \ne 6a^2+7a$

$3\sin x -(8a^2)$ と $\sin x - (a/2)$ とおくと

$3(a/2)+8a^2 = 3a/2+8a^2 \ne 6a^2+7a$

式全体を $a$ で整理すると、

\begin{align*}

3\sin^2 x - 6a^2\sin x - 7a\sin x + 8a^3 + 4a^2 &= 0 \\

3\sin^2 x - 6a^2\sin x + 8a^3 - 7a\sin x + 4a^2 &= 0

\end{align*}

$A = 4a^2, B = 2a+1$ とすると、

\begin{align*}

3B+A = 3(2a+1) + 4a^2 = 6a + 3 + 4a^2 = 4a^2 + 6a + 3 \ne 6a^2 + 7a \\

AB = 4a^2(2a+1) = 8a^3 + 4a^2

\end{align*}

よって、 $3 \sin^2 x - (6a^2 + 7a)\sin x + 8a^3 + 4a^2 = (3\sin x - 4a^2)(\sin x - 2a-1)$

\begin{align*}

(3\sin x - 4a^2)(\sin x - (2a+1)) &= 3\sin^2 x - (6a+3+4a^2)\sin x + 8a^3+4a^2 \\

&= 3\sin^2 x - (4a^2 + 6a + 3)\sin x + 8a^3 + 4a^2

\end{align*}

符号が異なるので $3\sin x + 4a^2 = 0$ , $\sin x + 2a+1 =0$ でもない。

$(3 \sin x +4a^2)(\sin x - (-2a-1)) =3 sin^2 - (4a^2-3(2a+1))\sin x - 4a^2(2a+1) \ne 0$

では式①は、

\begin{align*}

(3\sin x - (8a^3+4a^2)/\alpha)(\sin x - \alpha) &= 3\sin^2 x - (3\alpha+8a^3/ \alpha+4a^2/\alpha)\sin x + 8a^3+4a^2\\

\end{align*}

とならない

(2) 式①が解を持つ条件を考えます。

式①は $(3\sin x - 4a^2)(\sin x - 2a - 1) = 0$ と変形できるので、$\sin x = \frac{4}{3}a^2$ または $\sin x = 2a+1$ です。

$\sin x$ の範囲は $-1 \le \sin x \le 1$ であるため、

\begin{align*}

-1 \le \frac{4}{3}a^2 \le 1 \\

-1 \le 2a+1 \le 1

\end{align*}

が成り立ちます。

まず、 $-1 \le \frac{4}{3}a^2 \le 1$ から $\frac{4}{3}a^2 \le 1$ より $a^2 \le \frac{3}{4}$ となるので、$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le a \le \frac{\sqrt{3}}{2}$です。

次に、 $-1 \le 2a+1 \le 1$ から $-2 \le 2a \le 0$ より $-1 \le a \le 0$です。

$\sin x = \frac{4a^2}{3}$ または $\sin x = 2a + 1$ が解を持つには、$−1\leq \frac{4a^2}{3} \leq 1$ かつ $−1 \leq 2a + 1 \leq 1$

$−1\leq \frac{4a^2}{3}$ は常に成り立ちます。

よって、$\frac{4a^2}{3} \leq 1 \implies a^2 \leq \frac{3}{4} \implies -\frac{\sqrt{3}}{2} \leq a \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$-1 \leq 2a + 1 \leq 1 \implies -2 \leq 2a \leq 0 \implies -1 \leq a \leq 0$

共通範囲は $-1 \leq a \leq 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(3\sin x - 4a^2)(\sin x - 2a - 1) = 0$

(2) $-1 \le a \le 0$