$R^2$ において、ベクトル $b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ とベクトル $b_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す。

1. 問題の内容

$R^2$ において、ベクトル $b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ とベクトル $b_2 = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ が一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

ベクトル $b_1$ と $b_2$ が一次独立であることを示すには、線形結合 $c_1 b_1 + c_2 b_2 = 0$ が $c_1 = c_2 = 0$ という自明な解しか持たないことを示す必要があります。

つまり、$c_1$ と $c_2$ を変数とする以下の連立方程式を解きます。

$c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは、以下の連立一次方程式に書き換えられます。

$3c_1 + 5c_2 = 0$

$-2c_1 - c_2 = 0$

2番目の式を2倍すると、$-4c_1 - 2c_2 = 0$ となります。

2番目の式を-5倍すると、$10c_1 + 5c_2 = 0$ となります。

次に、1番目の式から2番目の式を引くと、

$(3 - (-10))c_1 + (5 - (-5))c_2 = 0 - 0$

$13c_1 = 0$

よって、$c_1 = 0$ となります。

$c_1 = 0$ を1番目の式に代入すると、

$3(0) + 5c_2 = 0$

$5c_2 = 0$

よって、$c_2 = 0$ となります。

したがって、$c_1 = 0$ と $c_2 = 0$ のみが解であるため、$b_1$ と $b_2$ は一次独立です。

3. 最終的な答え

$b_1$ と $b_2$ は一次独立である。