放物線 $y=ax^2+bx+1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x=1$ に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-4$ に重なった。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=ax^2+bx+1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した後、直線 $x=1$ に関して対称移動したら、放物線 $y=2x^2-4$ に重なった。このとき、定数 $a, b, p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=ax^2+bx+1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y-p=a(x-3)^2+b(x-3)+1$

$y=a(x-3)^2+b(x-3)+1+p$

次に、$y=a(x-3)^2+b(x-3)+1+p$ を直線 $x=1$ に関して対称移動した放物線の方程式を求める。

$x$ を $2-x$ に置き換える。

$y=a(2-x-3)^2+b(2-x-3)+1+p$

$y=a(-x-1)^2+b(-x-1)+1+p$

$y=a(x+1)^2-b(x+1)+1+p$

$y=a(x^2+2x+1)-b(x+1)+1+p$

$y=ax^2+(2a-b)x+a-b+1+p$

これが、$y=2x^2-4$ と一致するので、

$a=2$

$2a-b=0$

$a-b+1+p=-4$

これらの連立方程式を解く。

$a=2$

$2a-b=0 \Rightarrow 2(2)-b=0 \Rightarrow b=4$

$a-b+1+p=-4 \Rightarrow 2-4+1+p=-4 \Rightarrow -1+p=-4 \Rightarrow p=-3$

3. 最終的な答え

$a=2, b=4, p=-3$