$x$軸と点$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わり、$y$軸と点$(0, 3)$で交わる放物線の方程式を$y = -x^2 + \text{ア}x + \text{イ}$の形で求めよ。

1. 問題の内容

$x$軸と点$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わり、$y$軸と点$(0, 3)$で交わる放物線の方程式を$y = -x^2 + \text{ア}x + \text{イ}$の形で求めよ。

2. 解き方の手順

放物線が$x$軸と$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わることから、この放物線の方程式は

$y = a(x+1)(x-3)$

と書ける。ここで、$a$は定数である。

放物線が$y$軸と$(0, 3)$で交わることから、$x=0$のとき$y=3$となる。

したがって、

$3 = a(0+1)(0-3) = -3a$

これより、$a = -1$となる。

したがって、放物線の方程式は

$y = -(x+1)(x-3) = -(x^2 - 3x + x - 3) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

したがって、アには2が、イには3が入る。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3