ブラウン管の寿命の標準偏差 $\sigma$ は100時間であることがわかっている。平均寿命の99%信頼区間が$\pm 20$時間以内になるようにするために必要な標本の大きさ $n$ を求める。

1. 問題の内容

ブラウン管の寿命の標準偏差 $\sigma$ は100時間であることがわかっている。平均寿命の99%信頼区間が$\pm 20$時間以内になるようにするために必要な標本の大きさ $n$ を求める。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間は、母分散が既知の場合、以下の式で表される。

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\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

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ここで、

- $\bar{x}$ は標本平均

- $z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ パーセント点

- $\sigma$ は母標準偏差

- $n$ は標本の大きさ

99%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$。したがって $\alpha/2 = 0.005$。

$z_{0.005} \approx 2.576$ (標準正規分布表より)

問題文より、信頼区間の幅が$\pm 20$時間以内である必要があるため、

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z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 20

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これを $n$ について解く。

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n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{20} \right)^2

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$\sigma = 100$、 $z_{\alpha/2} = 2.576$ を代入すると、

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n \ge \left( \frac{2.576 \times 100}{20} \right)^2 = (12.88)^2 = 165.8944

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標本の大きさ $n$ は整数である必要があるため、小数点以下を切り上げて、

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n \ge 166

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3. 最終的な答え

標本の大きさは166以上である必要がある。