ベクトル場 $\mathbf{A} = 2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ に対して、面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求めます。ただし、$S$ は平面 $x+y+z=1$ で、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす領域であり、$d\mathbf{S}$ の方向は平面の法線方向（外向き）とします。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\mathbf{A} = 2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ に対して、面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求めます。ただし、$S$ は平面 $x+y+z=1$ で、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす領域であり、$d\mathbf{S}$ の方向は平面の法線方向（外向き）とします。

2. 解き方の手順

平面 $S$ は $x+y+z=1$ であり、$z = 1-x-y$ と表せます。このとき、位置ベクトル $\mathbf{r}(x, y) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + (1-x-y)\mathbf{k}$ とパラメータ表示できます。

法線ベクトル $d\mathbf{S}$ は、

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} \, dx \, dy$$

で与えられます。計算すると、

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} = \mathbf{i} - \mathbf{k}, \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \mathbf{j} - \mathbf{k}$$

より、

$$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = (\mathbf{i} - \mathbf{k}) \times (\mathbf{j} - \mathbf{k}) = \mathbf{i} \times \mathbf{j} - \mathbf{i} \times \mathbf{k} - \mathbf{k} \times \mathbf{j} + \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{k} + \mathbf{j} + \mathbf{i} + \mathbf{0} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$$

したがって、$d\mathbf{S} = (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx \, dy$ となります。これは外向きの法線ベクトルです。

次に、$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を計算します。

$$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = (2x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) \, dx \, dy = (2x + y + 2z) \, dx \, dy$$

$z = 1-x-y$ を代入すると、

$$2x + y + 2(1-x-y) = 2x + y + 2 - 2x - 2y = 2 - y$$

したがって、

$$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D (2-y) \, dx \, dy$$

ここで、$D$ は $xy$ 平面上の三角形領域で、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y \le 1$ で定義されます。積分の範囲は $0 \le x \le 1-y$, $0 \le y \le 1$ となります。

$$\iint_D (2-y) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^{1-y} (2-y) \, dx \, dy = \int_0^1 (2-y)(1-y) \, dy = \int_0^1 (2 - 3y + y^2) \, dy$$

$$= \left[ 2y - \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_0^1 = 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{12 - 9 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$