RLC直列回路において、コンデンサに初期電荷がない状態でスイッチを閉じた後、以下の問いに答えます。 (1) 回路に流れる電流 $I(t)$ に関する微分方程式を求めます。 (2) (1)で求めた微分方程式の一般解を実数関数で表します。ただし、$\omega_0 > \kappa$とします。 (3) 初期条件 $I(0) = 0$ および $L \frac{dI}{dt}(0) = E$ を満たす特殊解を求めます。 (4) (3)の結果を使って、コンデンサに蓄えられる電荷を時間の関数として求めます。

1. 問題の内容

RLC直列回路において、コンデンサに初期電荷がない状態でスイッチを閉じた後、以下の問いに答えます。

(1) 回路に流れる電流 $I(t)$ に関する微分方程式を求めます。

(2) (1)で求めた微分方程式の一般解を実数関数で表します。ただし、$\omega_0 > \kappa$とします。

(3) 初期条件 $I(0) = 0$ および $L \frac{dI}{dt}(0) = E$ を満たす特殊解を求めます。

(4) (3)の結果を使って、コンデンサに蓄えられる電荷を時間の関数として求めます。

2. 解き方の手順

(1) RLC直列回路における電圧降下の関係式から微分方程式を立てます。

$RI + \frac{1}{C} \int I dt + L \frac{dI}{dt} = E$

この式を時間 $t$ で微分すると

$R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I + L \frac{d^2 I}{dt^2} = 0$

$\frac{d^2 I}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dI}{dt} + \frac{1}{LC} I = 0$

ここで、$\kappa = \frac{R}{2L}$, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$とおくと、

$\frac{d^2 I}{dt^2} + 2 \kappa \frac{dI}{dt} + \omega_0^2 I = 0$

これは

$\ddot{I} + 2\kappa \dot{I} + \omega_0^2 I = 0$

と書けます。

(2) (1)で求めた微分方程式の一般解を求めます。特性方程式は、

$\lambda^2 + 2\kappa \lambda + \omega_0^2 = 0$

この解は、

$\lambda = \frac{-2\kappa \pm \sqrt{(2\kappa)^2 - 4\omega_0^2}}{2} = -\kappa \pm \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$

$\omega_0 > \kappa$ の場合、$\kappa^2 - \omega_0^2 < 0$となるので、解は複素数となります。

$\lambda = -\kappa \pm i \sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}$

一般解は

$I(t) = e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2} t) + C_2 \sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2} t))$

ここで$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}=\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}$とおくと、

$I(t) = e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t))$

$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\sqrt{\frac{1}{LC}} t)$ と書いてあるのは間違い.

$\frac{1}{LC} \gg (\frac{R}{2L})^2$より$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$

(3) 初期条件 $I(0) = 0$ より、

$I(0) = C_1 = 0$

したがって、$I(t) = C_2 e^{-\kappa t} \sin(\omega t)$

次に、$L \frac{dI}{dt}(0) = E$ より、

$\frac{dI}{dt} = C_2 (-\kappa e^{-\kappa t} \sin(\omega t) + \omega e^{-\kappa t} \cos(\omega t))$

$\frac{dI}{dt}(0) = C_2 \omega = \frac{E}{L}$

$C_2 = \frac{E}{L \omega}$

よって、特殊解は

$I(t) = \frac{E}{L \omega} e^{-\kappa t} \sin(\omega t) = \frac{E}{L \sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2}}e^{-\frac{R}{2L}t} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2}t)$

$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$と近似すると

$I(t) = \frac{E}{L \sqrt{\frac{1}{LC}}} e^{-\frac{R}{2L}t} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC}}t)$

$I(t) = E\sqrt{\frac{C}{L}} e^{-\frac{R}{2L}t} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC}}t)$

(4) コンデンサに蓄えられる電荷 $Q(t)$ は、電流 $I(t)$ を時間で積分することで求められます。

$Q(t) = \int I(t) dt = \int \frac{E}{L\omega} e^{-\kappa t} \sin(\omega t) dt$

与えられた公式より、

$Q(t) = \frac{E}{L\omega} \int e^{-\kappa t} \sin(\omega t) dt = \frac{E}{L\omega} \left( -\frac{e^{-\kappa t}}{\kappa^2 + \omega^2} (-\kappa \sin(\omega t) - \omega \cos(\omega t)) + A \right)$

$Q(t) = \frac{E}{L\omega} \frac{e^{-\kappa t}}{\kappa^2 + \omega^2} (\kappa \sin(\omega t) + \omega \cos(\omega t)) + A$

$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}$より

$Q(t) = \frac{E}{L\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}} \frac{e^{-\frac{R}{2L} t}}{\frac{R^2}{4L^2} + \frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} ( \frac{R}{2L} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t) + \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} \cos(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t))+ A$

$Q(t) = \frac{E C}{\sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2}} e^{-\frac{R}{2L} t} ( \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t) + \sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2} \cos(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t))+ A$

初期条件 $Q(0)=0$より

$0 = \frac{E C}{\sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2}} (\sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2})+ A$

$A=-EC$

$Q(t) = EC(e^{-\frac{R}{2L} t} ( \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t) + \sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2} \cos(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t))-1)$

ここで、もし問題文に$R=0$と書いてあれば

$Q(t) = EC(\cos(\frac{1}{\sqrt{LC}} t)-1)$

3. 最終的な答え

(1) $\ddot{I} + 2\kappa \dot{I} + \omega_0^2 I = 0$ (ただし、$\kappa = \frac{R}{2L}$, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$)

(2) $I(t) = e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t))$ (ただし、$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2} = \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}$)

(3) $I(t) = \frac{E}{L \omega} e^{-\kappa t} \sin(\omega t) = \frac{E}{L \sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2}}e^{-\frac{R}{2L}t} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2}t)$

(4) $Q(t) = EC(e^{-\frac{R}{2L} t} ( \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \sin(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t) + \sqrt{1 - (\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}})^2} \cos(\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t))-1)$