## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた対数の計算問題を解きます。

(7) $\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2$

(8) $\log_{3} 2.7 - \log_{3} 0.3$

(9) $\log_{3} 54 - \log_{9} 4$

(10) $\log_{3} \frac{1}{9} + \log_{2} \frac{1}{8}$

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2. 解き方の手順

**(7) $\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2$**

対数の和の公式：$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を使います。

$\log_{10} 500 + \log_{10} 0.2 = \log_{10} (500 \times 0.2) = \log_{10} 100$

$10^2 = 100$ なので、

$\log_{10} 100 = 2$

**(8) $\log_{3} 2.7 - \log_{3} 0.3$**

対数の差の公式：$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を使います。

$\log_{3} 2.7 - \log_{3} 0.3 = \log_{3} (\frac{2.7}{0.3}) = \log_{3} 9$

$3^2 = 9$ なので、

$\log_{3} 9 = 2$

**(9) $\log_{3} 54 - \log_{9} 4$**

底の変換公式：$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ を使います。

$\log_{9} 4 = \frac{\log_{3} 4}{\log_{3} 9} = \frac{\log_{3} 4}{2}$

$\log_{3} 54 - \log_{9} 4 = \log_{3} 54 - \frac{\log_{3} 4}{2}$

$\log_{3} 54 = \log_{3} (27 \times 2) = \log_{3} 27 + \log_{3} 2 = 3 + \log_{3} 2$

$\frac{\log_{3} 4}{2} = \frac{\log_{3} 2^2}{2} = \frac{2 \log_{3} 2}{2} = \log_{3} 2$

よって、

$\log_{3} 54 - \log_{9} 4 = 3 + \log_{3} 2 - \log_{3} 2 = 3$

**(10) $\log_{3} \frac{1}{9} + \log_{2} \frac{1}{8}$**

$\log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} 3^{-2} = -2$

$\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} 2^{-3} = -3$

$\log_{3} \frac{1}{9} + \log_{2} \frac{1}{8} = -2 + (-3) = -5$

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3. 最終的な答え

(7) 2

(8) 2

(9) 3

(10) -5